小数部の関数 $y = x - \lfloor x \rfloor$ のグラフ（のこぎり波）

$y = x - \lfloor x \rfloor$ は $x$ の小数部（fractional part）を取り出す関数で、しばしば $\{x\}$ と書かれます。$x$ から「$x$ を超えない最大の整数」である床関数 $\lfloor x \rfloor$ を引くので、整数部分が取り除かれて小数の部分だけが残ります。

• $2.3 - \lfloor 2.3 \rfloor = 2.3 - 2 = 0.3$
• $5 - \lfloor 5 \rfloor = 5 - 5 = 0$
• $-1.2 - \lfloor -1.2 \rfloor = -1.2 - (-2) = 0.8$

負の数では床関数が下側の整数を返すため、結果はつねに $0$ 以上になります。$-1.2$ の小数部が $0.8$ になる点は直感と少しずれるので注意してください。

定義域と値域：定義域はすべての実数で、値域は $0 \leq y < 1$、つまり区間 $[0,\ 1)$ です。値が $1$ に達することはありません。

周期性と形：この関数は周期 $1$ をもち、$\{x + 1\} = \{x\}$ が成り立ちます。各整数区間 $[n,\ n+1)$ の上では傾き $1$ の直線 $y = x - n$ になり、$x = n$ で $0$ から始まってまっすぐ上がり、次の整数の直前で $1$ に近づきます。この形が繰り返されるため、グラフはのこぎり波（sawtooth wave）と呼ばれます。

不連続点とジャンプ：関数はすべての整数で不連続です。整数 $n$ に左から近づくと値は $1$ に近づきますが、$x = n$ では $0$ にリセットされます。したがってジャンプの幅は $-1$ で、天井へ届く直前に床へ落ちる動きを繰り返します。各段の左端（整数点）は値 $0$ で含まれ、右端は含まれません（右連続）。

他の関数との関係：小数部は床関数から作られ、$x - \lfloor x \rfloor$ は「$x$ を $1$ で割った余り」$x \bmod 1$ とも一致します。$x$ が整数のときだけ床関数と $x$ が等しくなり、値が $0$ になります。

応用：のこぎり波は音のシンセサイザーのオシレータや、位相を $0$ から $1$（または $0$ から $2\pi$）へ繰り返し進める位相アキュムレータなど、周期的な現象のモデルとして信号処理で広く使われます。フーリエ級数の題材としても有名です。