反比例と直線の交点

反比例のグラフ $y = \dfrac{1}{x}$ と直線 $y = x$ の交点を求めます。

交点では 2 つの $y$ が等しいので $\dfrac{1}{x} = x$ です。両辺に $x$ を掛けると $1 = x^2$、つまり $x^2 = 1$ となり、$x = 1, -1$。それぞれ $y = x$ に戻すと $y = 1, -1$ なので、交点は $(1, 1)$ と $(-1, -1)$ の 2 点です。$x = 0$ は分母が $0$ になり $y = \dfrac{1}{x}$ が定義されないので、両辺に $x$ を掛けても解を失いません。

$y = \dfrac{1}{x}$ は原点に関して点対称な奇関数、$y = x$ も原点対称なので、交点も原点について対称な $(1, 1)$ と $(-1, -1)$ の対になります。直線を $y = x + k$ のように上下へずらすと交点の位置が変わり、$\dfrac{1}{x} = x + k$ すなわち $x^2 + kx - 1 = 0$ の判別式は $k^2 + 4$ でつねに正なので、$y = x + k$ とは $k$ が何であっても 2 点で交わります。グラフの大きな点が、交点 $(1, 1)$ と $(-1, -1)$ です。