反比例と直線の交点

反比例のグラフ $y = \dfrac{1}{x}$ と直線 $y = x$ の交点を求めます。

交点を求める

交点では $2$ つの $y$ が等しいので $\dfrac{1}{x} = x$ です。両辺に $x$ を掛けると、次の方程式になります。

$x = 1, -1$ となり、それぞれ $y = x$ に戻すと $y = 1, -1$ なので、交点は $(1, 1)$ と $(-1, -1)$ の $2$ 点です。

分母をはらうときの注意

分母のある方程式を解くときは、両辺に掛けた式が $0$ にならないかを確かめる必要があります。ここで掛けたのは $x$ ですが、$x = 0$ はもともと $y = \dfrac{1}{x}$ の定義域から外れています。除外されている値を掛けたので、解を失うことも、偽の解が増えることもありません。

対称性から見る

$y = \dfrac{1}{x}$ は原点に関して点対称な奇関数、$y = x$ も原点対称なので、交点も原点について対称な $(1, 1)$ と $(-1, -1)$ の対になります。この $2$ 点は、双曲線 $xy = 1$ の頂点にあたる点でもあります。$2$ つの曲線がいちばん近づく場所であり、直線 $y = x$ はこの双曲線の対称軸です。

同じ計算を $y = -x$ でやると、$\dfrac{1}{x} = -x$ から $x^2 = -1$ となり、実数解はありません。$y = -x$ は双曲線のもう $1$ 本の対称軸ですが、こちらは曲線と交わらないのです。$\dfrac{1}{x}$ が第 $1$・第 $3$ 象限にあり、$y = -x$ が第 $2$・第 $4$ 象限を通ることを考えれば当然です。

直線を動かす

直線を $y = x + k$ のように上下へずらすと、交点の位置が変わります。$\dfrac{1}{x} = x + k$ すなわち $x^2 + kx - 1 = 0$ の判別式は $k^2 + 4$ でつねに正なので、$k$ が何であっても $2$ 点で交わります。傾き $1$ の直線は、どこへずらしても必ず双曲線を $2$ 回貫くわけです。

接する場合

いっぽう傾きが負の直線なら、接することもあります。$y = -x + 2$ とすると、次のようになります。

重解 $x = 1$ となり、この直線は点 $(1, 1)$ で双曲線に接します。$y = \dfrac{1}{x}$ の導関数は $y' = -\dfrac{1}{x^2}$ なので $x = 1$ での接線の傾きは $-1$ で、確かにこの直線の傾きと一致しています。

分数関数と直線の交点も、二次方程式と判別式に落として考えられるわけです。グラフの大きな点が、交点 $(1, 1)$ と $(-1, -1)$ です。