逆双曲線正弦 $y = \operatorname{arsinh} x$

$\operatorname{arsinh} x$（逆双曲線正弦、area hyperbolic sine）は、双曲線正弦 $\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$ の逆関数です。$\sinh$ は全実数で単調に増加するため、制限を加えなくても逆関数が一意に定まります。

定義と閉形式

$y = \operatorname{arsinh} x$ は $x = \sinh y$ を満たす $y$ として定義されます。指数関数を用いて解くと、次の対数による閉じた式が得られます。

平方根の中身 $x^2 + 1$ は常に正なので、この式はすべての実数 $x$ で意味を持ちます。

定義域と値域

定義域は全実数 $(-\infty, \infty)$、値域も全実数 $(-\infty, \infty)$ です。$\sinh$ が実数全体を実数全体へ一対一に写すため、その逆関数も同じ範囲を持ちます。

対称性と増減

$\operatorname{arsinh}$ は奇関数で、$\operatorname{arsinh}(-x) = -\operatorname{arsinh} x$ が成り立ち、グラフは原点対称です。導関数は

で常に正なので、関数全体で単調に増加します。

極限と増加の速さ

原点付近では $\operatorname{arsinh} x \approx x$ となり、直線 $y = x$ に接するようにふるまいます。一方 $x$ が大きくなると $\sqrt{x^2 + 1} \approx x$ なので $\operatorname{arsinh} x \approx \ln(2x)$ となり、対数的に非常にゆっくり増加します。垂直・水平いずれの漸近線も持ちません。

特徴的な点

原点 $(0, 0)$ を通ります。例えば $\operatorname{arsinh} 1 = \ln(1 + \sqrt{2}) \approx 0.8814$ です。

他の関数との関係と応用

$\operatorname{arcosh}$ や $\operatorname{artanh}$ と同じ逆双曲線関数の仲間です。積分 $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}}$ の結果として現れ、カテナリー（懸垂線）の弧長計算や、特殊相対論・測地線などの計算にも登場します。