y = \operatorname{arsinh} x

逆双曲線正弦 $y = \operatorname{arsinh} x$

$\operatorname{arsinh} x$ （逆双曲線正弦、area hyperbolic sine）は、双曲線正弦 $\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$ の逆関数です¹。 $\sinh$ は全実数で単調に増加するため、制限を加えなくても逆関数が一意に定まります。

定義と閉形式

$y = \operatorname{arsinh} x$ は $x = \sinh y$ を満たす $y$ です。 $e^y$ についての二次方程式を解くと、対数による閉じた式が得られます。

\operatorname{arsinh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)

平方根の中身 $x^2 + 1$ はつねに正なので、この式はすべての実数で意味をもちます。

定義域と値域

定義域はすべての実数
値域もすべての実数
単調に増加する
奇関数

$\sinh$ が実数全体を実数全体へ一対一に写すため、その逆関数も同じ範囲をもちます。逆双曲線関数のなかで、定義域に制限がまったくないのはこの関数だけです。

対称性と増減

$\operatorname{arsinh}(-x) = -\operatorname{arsinh} x$ が成り立つ奇関数で、グラフは原点対称です。導関数は次のとおりです。

\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}

つねに正なので実数全体で単調に増加します。分母が $0$ にならないため、 $\operatorname{arcosh}$ のように接線が垂直になる点はありません。

増加の速さ

範囲	近似	ふるまい
原点付近	$\operatorname{arsinh} x \approx x$	直線 $y = x$ に接する
$x$ が大きい	$\operatorname{arsinh} x \approx \ln(2x)$	対数的にゆっくり増加

$x$ が大きいところでは $\sqrt{x^2+1} \approx x$ なので、対数の増え方に落ち着きます。垂直・水平いずれの漸近線ももちません。

特徴的な値

$x$	$\operatorname{arsinh} x$
$0$	$0$
$1$	$\ln(1 + \sqrt{2}) \approx 0.8814$
$2$	$\ln(2 + \sqrt{5}) \approx 1.4436$
$10$	$\approx 2.9982$

$x$ が $1$ から $10$ へ $10$ 倍になっても値は $3$ 倍強にしかならず、対数らしいゆるやかさが見てとれます。

応用

積分の結果として現れるのが最も基本的な用途です。

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C

懸垂線の弧長の計算
特殊相対性理論や測地線の計算
値の幅が広いデータを扱う逆双曲線正弦変換（負の値も扱える対数変換の代用）

Inverse hyperbolic functions、Wikipedia

逆双曲線正弦 y=arsinh⁡xy = \operatorname{arsinh} xy=arsinhx