対数関数と直線の交点

対数関数と水平な直線の交点は、対数方程式を解くことにあたります。 $y = \ln x$ と直線 $y = 1$ の交点を求めます。

指数に戻して解く

交点では $y$ が等しいので $\ln x = 1$ が成り立ちます。両辺を $e$ の肩に乗せます。

e^{\ln x} = e^{1}

左辺は $e^x$ と $\ln x$ が逆関数どうしなので $x$ そのものに戻り、 $x = e$ となります。よって交点は $(e, 1)$ 、 $e \approx 2.718$ です。

対数方程式を解くとは、結局この指数に戻す操作のことです。 $\ln x = k$ ならば $x = e^k$ で、 $\ln x$ が $e$ を何乗すると $x$ になるかを表す以上、これは定義を読み直しただけとも言えます。

必ずちょうど $1$ 点で交わる

$y = \ln x$ は $x > 0$ でのみ定義され、単調に増加します。同じ高さを $2$ 度通らないので、水平な直線とは高々 $1$ 点でしか交わりません。しかも値域はすべての実数なので、 $y = k$ の $k$ がどんな値であっても必ずちょうど $1$ 点で交わります。値域が $y > 0$ に限られる指数関数が $k \leq 0$ の直線とは交わらなかったのとは対照的です。逆関数どうしで、定義域と値域が入れかわっていることがここに効いています。

交点の位置

直線	交点の $x$ 座標	近似値
$y = 0$	$e^{0}$	$1$
$y = 1$	$e^{1}$	$2.72$
$y = 2$	$e^{2}$	$7.39$
$y = 3$	$e^{3}$	$20.1$

高さが $1$ 上がるたびに、 $x$ は $e$ 倍に伸びていきます。 $\ln x$ の増え方がきわめてゆるやかであることが、交点の位置からもはっきり読み取れます。

底との関係

底が変わっても事情は同じです。 $\log_{10} x = 1$ なら $x = 10$ 、 $\log_2 x = 1$ なら $x = 2$ 。つまり対数関数と直線 $y = 1$ の交点の $x$ 座標は、いつでもその対数の底そのものになります。 $\ln x$ の底は $e$ なので、交点が $(e, 1)$ に来るのは当たり前だった、というわけです。底が大きいほど交点は右へ動き、グラフの立ち上がりはゆるやかになります。

対称性の確認

この交点 $(e, 1)$ は、指数関数 $y = e^x$ と直線 $x = 1$ の交点 $(1, e)$ を、直線 $y = x$ で折り返した点にあたります。逆関数のグラフが $y = x$ に関して対称であることの、ささやかな確認です。グラフの大きな点が交点 $(e, 1)$ です。