ロジスティック関数 $y = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$

ロジスティック関数 $y = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$ は、標準シグモイド関数とも呼ばれる代表的な S 字カーブです。入力がどんな実数でも出力を $0$ と $1$ の間に収めるため、確率や「オン・オフ」の度合いを表すのに適しています。

定義域と値域 すべての実数 $x$ で定義されます。分母 $1 + e^{-x}$ は常に正で、$x \to +\infty$ で $1$ に近づくので、値域は開区間 $(0, 1)$ です。両端の値には決して達しません。

対称性 $f(-x) = 1 - f(x)$ が成り立ち、グラフは点 $\left(0, \dfrac{1}{2}\right)$ に関して点対称です。たとえば $f(2) \approx 0.881$ に対し $f(-2) \approx 0.119$ で、和は $1$ になります。

増減 導関数は $f'(x) = f(x)\bigl(1 - f(x)\bigr) = \dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$ で、常に正です。したがって関数は全域で単調増加します。傾きが最大になるのは中央の $x = 0$ で、その値は $\dfrac{1}{4}$ です。

漸近線と極限 $x \to -\infty$ では $e^{-x} \to +\infty$ なので $y \to 0$、$x \to +\infty$ では $e^{-x} \to 0$ なので $y \to 1$ となります。つまり下側の漸近線 $y = 0$ と上側の漸近線 $y = 1$ の二本をもちます。

変曲点 二階導関数は $f'' = f(1-f)(1-2f)$ で、$f = \dfrac{1}{2}$ すなわち $x = 0$ で符号が変わります。点 $\left(0, \dfrac{1}{2}\right)$ が唯一の変曲点で、そこを境に下に凸から上に凸へ移ります。

他の関数との関係 $f(x) = \dfrac{1}{2}\left(1 + \tanh\dfrac{x}{2}\right)$ と書け、双曲線正接 $\tanh$ を平行移動・伸縮したものと一致します。導関数が $y(1-y)$ という簡潔な形になるのも大きな特徴です。

応用と歴史 19 世紀にベルギーのフェルフルスト（Verhulst）が、資源に限りのある環境での個体数増加を表す「ロジスティック方程式」の解として導入しました。現在では、ロジスティック回帰、ニューラルネットワークの活性化関数、化学反応の進行度など、成長や確率を扱うあらゆる場面で活躍しています。