余割関数 $y = \csc x$ のグラフ

余割関数 $y = \csc x$ は、正弦関数 $\sin x$ の逆数として定義される三角関数です。「コセカント」と読み、$\operatorname{cosec} x$ と書かれることもあります。直角三角形では斜辺を対辺で割った比に対応します。

定義と式

定義域と値域

$\sin x = 0$ となる $x = n\pi$（$n$ は整数）では分母が $0$ になり定義できません。したがって定義域はこれらの点を除いた実数全体です。$-1 \le \sin x \le 1$ かつ $\sin x \ne 0$ より $|\csc x| \ge 1$ となり、値域は $y \le -1$ または $y \ge 1$ です。

対称性と周期性

$\sin x$ が奇関数なので $\csc(-x) = -\csc x$ が成り立ち、$y = \csc x$ は原点に関して点対称な奇関数です。周期は正弦と同じ $2\pi$ です。

漸近線と極限

$x = n\pi$ の各点に垂直な漸近線をもちます。$x$ が $0$ に右から近づくと $\sin x \to 0^{+}$ なので $\csc x \to +\infty$、左から近づくと $\csc x \to -\infty$ となります。

増減と特徴的な点

隣り合う漸近線の間では $U$ 字型または逆 $U$ 字型になります。$\sin x$ が最大値 $1$ をとる $x = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi$ で $\csc x$ は極小値 $1$、$\sin x$ が最小値 $-1$ をとる $x = \dfrac{3\pi}{2} + 2n\pi$ で $\csc x$ は極大値 $-1$ をとります。導関数は $\dfrac{d}{dx}\csc x = -\csc x \cot x$ です。

他の関数との関係

$\csc x = \sec\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ で正割と結ばれ、公式 $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ にも現れます。正割 $\sec x$ のグラフを左へ $\dfrac{\pi}{2}$ ずらすと余割 $\csc x$ になります。

応用

余割は三角形の辺の計算（正弦定理の逆数形）や、振動・波動の解析、積分計算 $\int \csc x\,dx = \ln\left|\tan\dfrac{x}{2}\right| + C$ などに登場します。