y = \csc x

余割関数 $y = \csc x$ のグラフ

余割関数 $y = \csc x$ は、正弦関数 $\sin x$ の逆数として定義される三角関数です¹。「コセカント」と読み、 $\operatorname{cosec} x$ と書かれることもあります。直角三角形では斜辺を対辺で割った比に対応します。

定義

\csc x = \frac{1}{\sin x}

$-1 \leq \sin x \leq 1$ かつ $\sin x \neq 0$ より $|\csc x| \geq 1$ となります。

$\sin x$ が奇関数なので $\csc(-x) = -\csc x$ が成り立ち、原点に関して点対称です。周期は正弦と同じ $2\pi$ です。

$x = n\pi$ の各点に垂直な漸近線をもちます。

近づき方	$\sin x$	$\csc x$
$x \to 0^{+}$	$0^{+}$	$+\infty$
$x \to 0^{-}$	$0^{-}$	$-\infty$

導関数は $\dfrac{d}{dx}\csc x = -\csc x \cot x$ です。隣り合う漸近線の間では U 字型または逆 U 字型になります。

$x$	$\sin x$	$\csc x$	極値
$\dfrac{\pi}{2} + 2n\pi$	$1$	$1$	極小
$\dfrac{3\pi}{2} + 2n\pi$	$-1$	$-1$	極大

1 + \cot^2 x = \csc^2 x

$\csc x = \sec\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ で正割と結ばれます。正割 $\sec x$ のグラフを右へ $\dfrac{\pi}{2}$ ずらすと余割 $\csc x$ になります。

\int \csc x\,dx = \ln\left|\tan\frac{x}{2}\right| + C