三角関数の合成

y=sin⁡x+cos⁡xy = \sin x + \cos x のグラフを考えます。三角関数の合成を使うと、22 つの波が 11 つの正弦にまとまります。

合成

sin⁡x+cos⁡x=2 sin⁡(x+π4)\sin x + \cos x = \sqrt{2}\,\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)

これは振幅が 2\sqrt{2}、y=sin⁡xy = \sin x を左に π4\dfrac{\pi}{4} ずらした形です。値は −2-\sqrt{2} から 2\sqrt{2} の間を動き、x+π4=π2x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} すなわち x=π4x = \dfrac{\pi}{4} で最大値 2\sqrt{2} をとります。

なぜ 2\sqrt{2} と π4\dfrac{\pi}{4} が現れるのか

加法定理を逆にたどると分かります。右辺を展開してみます。

2 sin⁡(x+π4)=2(sin⁡xcos⁡π4+cos⁡xsin⁡π4)=2(22sin⁡x+22cos⁡x)=sin⁡x+cos⁡x\begin{align*} \sqrt{2}\,\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) &= \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) \\ &= \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right) \\ &= \sin x + \cos x \end{align*}

確かに左辺に戻ります。

一般の合成

asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2 sin⁡(x+α)a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\,\sin(x + \alpha)

ここで α\alpha は tan⁡α=ba\tan\alpha = \dfrac{b}{a} で決まる角です。この式は、点 (a,b)(a, b) の長さが振幅、偏角が位相のずれになる、と読むこともできます。

点 (a,b)(a, b)振幅 a2+b2\sqrt{a^2+b^2}位相 α\alpha
(1,1)(1, 1)2\sqrt{2}π4\dfrac{\pi}{4}
(1,0)(1, 0)1100
(0,1)(0, 1)11π2\dfrac{\pi}{2}
(3,1)(\sqrt{3}, 1)22π6\dfrac{\pi}{6}

ここでは (1,1)(1, 1) の長さが 2\sqrt{2}、偏角が π4\dfrac{\pi}{4} でした。

合成が語っていること

合成が語っているのは、同じ周期の正弦波を足しても、やはり同じ周期の正弦波になるということです。変わるのは振幅と位相だけで、波の形も周期も変わりません。

sin⁡x\sin x と cos⁡x\cos x を足したのに新しい種類の波が生まれず、少し高く、少し左にずれた正弦波になるだけなのは、そのためです。この性質は、交流回路で 22 つの電圧を重ね合わせるときや、複数の波が干渉するときの計算の土台になっています。

グラフの上下の直線 y=±2y = \pm\sqrt{2} が振幅を表し、大きな点が最大点 (π4,2)\left(\dfrac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right) です。