円の接線

円の接線とは、円にちょうど 1 点で接する直線です。ここでは中心が原点 $O(0, 0)$、半径 $5$ の円 $x^2 + y^2 = 25$ の、円上の点 $(4, 3)$ における接線を求めます。まず $(4, 3)$ が円上にあることを確かめます。$4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ なので、確かに円の上の点です。

接線の向きを決めるのは、接点と中心を結ぶ半径です。円の接線は、その接点における半径と垂直に交わります。半径 $O(0, 0) \to (4, 3)$ の傾きは $\dfrac{3}{4}$ なので、接線の傾きはそれと垂直な $-\dfrac{4}{3}$ です。

接点 $(4, 3)$ を通り傾き $-\dfrac{4}{3}$ の直線を作ると、$y - 3 = -\dfrac{4}{3}(x - 4)$ から整理して $4x + 3y = 25$ になります。

一般に、原点を中心とする半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線は、次の式で書けます。

この式に $(x_1, y_1) = (4, 3)$、$r^2 = 25$ を入れると $4x + 3y = 25$ となり、上の結果と一致します。グラフの大きな点は中心 $O(0, 0)$ と接点 $(4, 3)$ で、半径と接線が直角に交わっているのが見えます。