円の接線

円の接線とは、円にちょうど $1$ 点で接する直線です。ここでは中心が原点 $O(0, 0)$、半径 $5$ の円 $x^2 + y^2 = 25$ の、円上の点 $(4, 3)$ における接線を求めます。まず $4^2 + 3^2 = 25$ なので、$(4, 3)$ は確かに円の上の点です。

半径と垂直に交わる

接線の向きを決めるのは、接点と中心を結ぶ半径です。円の接線は、その接点における半径と垂直に交わります。半径 $O(0, 0) \to (4, 3)$ の傾きは $\dfrac{3}{4}$ なので、接線の傾きはそれと垂直な $-\dfrac{4}{3}$ です。接点 $(4, 3)$ を通る直線を作ります。

整理して $4x + 3y = 25$ です。

接線の公式

一般に、原点を中心とする半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線は、次の式で書けます。

この式に $(x_1, y_1) = (4, 3)$、$r^2 = 25$ を入れると $4x + 3y = 25$ となり、上の結果と一致します。中心が $(a, b)$ の円なら、接線は $(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2$ です。

$3$ つの見方

接することは、どの見方からでも確かめられます。

接線 $y = \dfrac{25 - 4x}{3}$ を円の式に代入して整理すると $x^2 - 8x + 16 = 0$、すなわち $(x - 4)^2 = 0$ となり、解は $x = 4$ ただ $1$ つです。直線 $4x + 3y - 25 = 0$ と中心 $(0, 0)$ の距離は $\dfrac{|-25|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 5$ で、半径にぴったり等しくなります。

円の外の点から引く接線

引ける接線の本数は、点の位置で決まります。

放物線の外側の点から接線が $2$ 本引けたのと、同じ状況です。

グラフの大きな点は中心 $O(0, 0)$ と接点 $(4, 3)$ で、半径と接線が直角に交わっているのが見えます。