指数関数 $y = e^x$ のグラフ

$y = e^x$ は、ネイピア数 $e = 2.71828\ldots$ を底とする指数関数です。自然指数関数と呼ばれ、微分しても形が変わらないという、他にない性質をもっています。

定義域と値域

定義域はすべての実数で、値域は $y > 0$ です。$e^x$ は決して $0$ にも負にもなりません。

微分しても変わらない

導関数は関数自身と同じです。

つねに正なので単調に増加し、二階導関数 $y'' = e^x$ も正なのでグラフは全体が下に凸です。ある点での値がそのままその点での増加の速さになっているので、大きくなるほど速く増えます。$y' = y$ かつ $y(0) = 1$ を満たす関数は $e^x$ ただ $1$ つで、これが $e^x$ の定義といってもよい性質です。

漸近線と極限

$x \to -\infty$ では $e^x \to 0$ となり、$x$ 軸（直線 $y = 0$）が水平漸近線です。値はつねに正なので、曲線は上側から近づきます。$x \to +\infty$ では $+\infty$ に発散し、その速さはどんな多項式よりも上です。

どんな $n$ に対してもこれが成り立ちます。

特徴的な点

$(0, 1)$、$(1, e) \approx (1, 2.718)$、$(-1, e^{-1}) \approx (-1, 0.368)$ を通ります。点 $(0, 1)$ での接線は傾き $1$ の直線 $y = x + 1$ で、原点付近ではこの直線とほとんど重なります。

級数による表示

$e^x$ は次の無限級数で表せます。

各項を微分すると $1$ つ前の項に戻るので、微分しても全体が変わらないことがこの形からも読み取れます。

他の関数との関係

逆関数は自然対数 $\ln x$ で、$2$ つのグラフは直線 $y = x$ に関して線対称です。

どんな指数関数も $e^x$ を横方向に伸縮したものにすぎません。虚数まで広げると、指数関数と三角関数がつながります。

応用

変化の速さが現在の量に比例する現象、すなわち微分方程式 $y' = ky$ の解が $y = Ce^{kx}$ です。$k > 0$ なら人口の増加や複利による資産の増え方、$k < 0$ なら放射性崩壊や熱の冷めていく速さ（ニュートンの冷却法則）、コンデンサの放電を表します。自然界で増える・減るを語るとき、最初に現れる関数です。