指数関数と直線の交点

指数関数と水平な直線の交点は、指数方程式を解くことにあたります。$y = 2^x$ と直線 $y = 4$ の交点を求めます。

底をそろえて解く

交点では $2^x = 4$ です。$4 = 2^2$ と、右辺も同じ底 $2$ の累乗に直します。

底がそろえば指数どうしを等しくおけるので $x = 2$ となり、交点は $(2, 4)$ の $1$ 点です。

対数で解く

右辺がきれいな累乗にならないときは、対数を使います。$2^x = k$ の両辺の $\log_2$ をとれば $x = \log_2 k$ です。$2$ を何乗すると $k$ になるかを答えるのが対数なので、これは指数方程式の答えを書き直したにすぎません。この例なら $x = \log_2 4 = 2$ です。

水平な直線とは高々 $1$ 点

指数関数 $y = 2^x$ は底が $1$ より大きく、つねに単調に増加します。そのため水平な直線 $y = k$ とは、次のように交わります。

底が $1$ より小さいときはグラフが単調に減少します。$y = \left( \dfrac{1}{2} \right)^x = 2^{-x}$ は右下がりの曲線ですが、やはり同じ高さを $2$ 度通らないので、$k > 0$ の水平な直線とはちょうど $1$ 点で交わります。単調でありさえすれば、増加でも減少でも交点はただ $1$ つに決まるのです。

傾きのある直線が相手だと

$2^x = x + 1$ を考えると、$x = 0$ で $1 = 1$、$x = 1$ で $2 = 2$ となり、交点は $2$ つあります。指数関数は下に凸なので、直線とは最大で $2$ 点まで交われるのです。ただし、こうした方程式は一般には式変形だけでは解けず、数値的に解を求めることになります。この例のようにきれいな解が見つかるのは幸運な場合です。

応用

指数方程式は、増え続けるものがある値に達する時刻をさがす場面に現れます。年利 $3$ パーセントの複利で元本が $2$ 倍になる年数は、$1.03^t = 2$ を解けば求まります。

倍々に増える細菌が一定数に達するまでの時間も、放射性物質が半分に減るまでの時間も、同じ形の方程式です。グラフの大きな点が、交点 $(2, 4)$ です。