指数関数と直線の交点

指数関数と水平な直線の交点は、指数方程式を解くことにあたります。$y = 2^x$ と直線 $y = 4$ の交点を求めます。

交点では $2^x = 4$ です。$4 = 2^2$ と、右辺も同じ底 $2$ の累乗に直すと $2^x = 2^2$。底がそろえば指数どうしを等しくおけるので $x = 2$。よって交点は $(2, 4)$ の 1 点です。

指数関数 $y = 2^x$ は底が $1$ より大きく、つねに単調に増加します。そのため、水平な直線 $y = k$ とは、$k > 0$ ならどんな値でもちょうど 1 点で交わります。値域が $y > 0$ なので、$k \leq 0$ の直線とは交わりません。

このように、単調増加のグラフは水平線と高々 1 点でしか交わらず、指数方程式 $2^x = k$（$k > 0$）の解はいつもただ 1 つに決まります。グラフの大きな点が、交点 $(2, 4)$ です。