三点を通る放物線

33 点 (0,1)(0, 1)、(1,0)(1, 0)、(2,3)(2, 3) を通る放物線を求めます。xx 座標が互いに異なる 33 点を通る二次関数は、ただ 11 つに決まります。

連立方程式を立てる

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c とおいて 33 点を代入します。

c=1a+b+c=04a+2b+c=3\begin{align*} c &= 1 \\ a + b + c &= 0 \\ 4a + 2b + c &= 3 \end{align*}

未知数は aa、bb、cc の 33 つ、条件も 33 本なので、ちょうど解けます。c=1c = 1 を使うと a+b=−1a + b = -1 と 2a+b=12a + b = 1 が残り、辺々引いて a=2a = 2、b=−3b = -3 です。よって y=2x2−3x+1y = 2x^2 - 3x + 1 となります。

検算

xx式に代入した値与えられた yy
001111
112−3+1=02 - 3 + 1 = 000
228−6+1=38 - 6 + 1 = 333

どれも与えられた点と一致します。

なぜ 33 点で決まるのか

二次関数は aa、bb、cc という 33 つの自由度をもっています。11 点を通るという条件は方程式 11 本にあたるので、33 点あれば 33 本そろい、過不足なく決まるのです。22 点しか与えられなければ、その 22 点を通る放物線は無数にあります。

関数自由度決まるのに必要な点
直線 y=ax+by = ax + b2222 点
放物線 y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c3333 点
nn 次関数n+1n + 1n+1n + 1 点

33 点を通る円を求めた話と、そっくり同じ構図です。

求めた放物線を調べる

得られた y=2x2−3x+1y = 2x^2 - 3x + 1 は (2x−1)(x−1)(2x - 1)(x - 1) と因数分解でき、xx 軸との交点は (12,0)\left( \dfrac{1}{2}, 0 \right) と (1,0)(1, 0) です。与えられた 33 点のうち (1,0)(1, 0) は、もともと xx 軸の上の点だったわけです。

平方完成すると 2(x−34)2−182 \left( x - \dfrac{3}{4} \right)^2 - \dfrac{1}{8} となるので、頂点は (34,−18)\left( \dfrac{3}{4}, -\dfrac{1}{8} \right) です。33 点を通るというだけの条件から、放物線の開き方も位置も、すべて決まってしまったことになります。

補間

このように、与えられた点をすべて通る多項式を求めることを補間といいます。観測したいくつかのデータの間をなめらかな曲線でつなぐときに使われる、基本の道具です。ただし点の数が増えるほど次数が上がり、点と点のあいだで曲線が大きく波打つこともあるので、実際には低い次数の曲線を区間ごとにつなぐ方法もよく使われます。

グラフの大きな点が通る 33 点で、放物線がそのすべてを通ります。