三角関数の振幅と周期

$y = 2\sin 2x$ のグラフを、基本の $y = \sin x$ と比べます。一般に $y = a\sin bx$（$b > 0$）は振幅が $|a|$、周期が $\dfrac{2\pi}{b}$ です。

振幅と周期

この例では $a = 2$、$b = 2$ なので、振幅は $2$、周期は $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$ です。

縦に $2$ 倍、横に $\dfrac{1}{2}$ に縮んでいます。

$a$ の役割

$a$ の役割は簡単です。$\sin$ の値は $-1$ から $1$ の間を動くので、それを $a$ 倍すれば $-|a|$ から $|a|$ の間を動きます。グラフが縦に $a$ 倍に引き伸ばされる、というだけのことです。

$b$ の役割

$b$ の役割は少し考える必要があります。$\sin$ は中身が $2\pi$ 増えると $1$ 周します。中身は $bx$ ですから、$1$ 周するのに必要な $x$ の増分を $T$ とすると次のようになります。

$b$ が大きいほど中身が速く増えるので、波は横に詰まって周期が短くなります。$b = 2$ なら、もとの半分の $x$ で $1$ 周するわけです。

零点と最大点

零点や最大点も、同じ割合で詰まります。$y = \sin x$ の零点は $\pi$ ごとですが、$y = 2\sin 2x$ では $\dfrac{\pi}{2}$ ごとです。最大になるのは中身が $\dfrac{\pi}{2}$ のときなので、$2x = \dfrac{\pi}{2}$ から $x = \dfrac{\pi}{4}$、そこで値は $2$ です。

より一般の形

• $a$ は振幅（縦の伸縮）
• $b$ は周期を決める（横の伸縮）
• $c$ は横方向のずれ（位相）
• $d$ は上下の平行移動

応用

音の波でいえば、$a$ は音の大きさ、$b$ は音の高さ（振動数は $\dfrac{b}{2\pi}$）にあたり、交流電流では $a$ が電圧の大きさ、$b$ が周波数を決めます。波を扱うときに最初に見るのが、この振幅と周期です。

大きな点は $2\sin 2x$ の最大点 $\left(\dfrac{\pi}{4}, 2\right)$ と $\sin x$ の最大点 $\left(\dfrac{\pi}{2}, 1\right)$ です。