座標平面上の三角形の面積

座標がわかっている三角形の面積は、公式で計算できます。頂点 $A(1, 1)$、$B(5, 1)$、$C(2, 4)$ の三角形を考えます。

底辺と高さが読み取りやすいときは、そのまま求められます。辺 $AB$ は $y = 1$ 上にあり、長さは $5 - 1 = 4$。頂点 $C$ の高さはこの底辺からの距離で、$C$ の $y$ 座標 $4$ と底辺の $y = 1$ の差だから $4 - 1 = 3$。よって面積は $\dfrac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ です。

底辺が座標軸と平行でない一般の場合は、次の公式が使えます。$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$、$C(x_3, y_3)$ の三角形の面積は、

です。代入すると $\dfrac{1}{2}|1(1 - 4) + 5(4 - 1) + 2(1 - 1)| = \dfrac{1}{2}|-3 + 15 + 0| = \dfrac{1}{2} \times 12 = 6$ となり、さきほどと一致します。絶対値は面積を正にするためのもので、頂点をどの順で並べても同じ値になります。グラフの 3 本の直線は三角形の 3 辺 $AB$、$BC$、$CA$ で、大きな点が頂点 $A(1, 1)$、$B(5, 1)$、$C(2, 4)$ です。