座標平面上の三角形の面積

座標がわかっている三角形の面積は、公式で計算できます。頂点 $A(1, 1)$ 、 $B(5, 1)$ 、 $C(2, 4)$ の三角形を考えます。

底辺と高さから

底辺と高さが読み取りやすいときは、そのまま求められます。辺 $AB$ は $y = 1$ 上にあり、長さは $5 - 1 = 4$ です。頂点 $C$ の高さは底辺からの距離で、 $C$ の $y$ 座標 $4$ と底辺の $y = 1$ の差だから $3$ です。よって面積は $\dfrac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ になります。

座標から求める公式

底辺が座標軸と平行でない一般の場合は、次の公式が使えます。 $A(x_1, y_1)$ 、 $B(x_2, y_2)$ 、 $C(x_3, y_3)$ に対して、面積は次のとおりです。

S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|

代入すると $\dfrac{1}{2}|1(1 - 4) + 5(4 - 1) + 2(1 - 1)| = \dfrac{1}{2}|{-3} + 15 + 0| = 6$ となり、さきほどと一致します。

原点へ移して見る

この公式は、頂点 $A$ を原点へ移すと見通しがよくなります。 $A$ を原点に平行移動すると、 $B$ は $(4, 0)$ 、 $C$ は $(1, 3)$ に移ります。原点と $2$ 点 $(p, q)$ 、 $(r, s)$ が作る三角形の面積は次の形です。

S = \frac{1}{2}|ps - qr|

代入すると $\dfrac{1}{2}|4 \cdot 3 - 0 \cdot 1| = 6$ です。平行移動しても面積は変わらないので、これで十分です。 $|ps - qr|$ は $2$ つのベクトルが張る平行四辺形の面積で、三角形はそのちょうど半分にあたります。

求め方	計算	結果
底辺と高さ	$\dfrac{1}{2} \times 4 \times 3$	$6$
座標の公式	$\dfrac{1}{2}\|{-3} + 15 + 0\|$	$6$
原点へ移す	$\dfrac{1}{2}\|4 \cdot 3 - 0 \cdot 1\|$	$6$

絶対値の意味

絶対値は面積を正にするためのもので、頂点をどの順で並べても同じ値になります。絶対値を外した値の符号は、 $A \to B \to C$ とたどる向きを表しています。

反時計回りなら正
時計回りなら負
$3$ 点が一直線上に並ぶと $0$

面積が $0$ になるのは三角形がつぶれてしまうときなので、この式は $3$ 点が共線かどうかの判定にも使えます。

多角形への広がり

同じ考え方は多角形にも広がり、頂点を順にたどって計算するシューレース（靴ひも）公式になります¹。三角形はその最も簡単な場合です。

グラフの $3$ 本の直線は三角形の $3$ 辺で、大きな点が頂点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ です。

Shoelace formula、Wikipedia