y = x

一次関数 $y = x$ のグラフ

$y = x$ は、傾きが $1$ 、切片が $0$ の最も基本的な一次関数です。一般の一次関数 $y = ax + b$ で $a = 1$ 、 $b = 0$ とした形にあたり、入れた値をそのまま返すことから恒等関数とも呼ばれます。べき関数 $y = x^n$ で $n = 1$ とした場合でもあります。

定義域と値域

定義域はすべての実数で、値域もすべての実数です。どんな実数を入れても値がただ一つ定まり、逆にどんな実数の値もちょうど一度だけとります。このもれなく重複のない対応が、 $y = x$ が逆関数をもち、しかもその逆関数が自分自身になることの根拠です。

定義域はすべての実数
値域はすべての実数
最大値も最小値もなし
極値も変曲点もなし

傾きと切片

傾きは $1$ です。 $x$ が $1$ 増えるごとに $y$ も $1$ 増えるので、変化の割合はグラフのどこをとっても $1$ になります。

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(x + h) - x}{h} = 1

直線は $x$ 軸と $45^\circ$ の角をなし、 $y$ 切片も $x$ 切片も原点 $(0, 0)$ です。 $2$ つの切片が一致するのは、この直線が原点を通るからです。

対称性

$f(-x) = -x = -f(x)$ が成り立つので、原点に関して点対称な奇関数です。グラフは第 $1$ 象限と第 $3$ 象限をまっすぐに貫きます。

増減

導関数はどこでも正の定数です。

y' = 1

したがって全区間で単調に増加します。二階導関数は $y'' = 0$ なので曲がることがなく、極大・極小も変曲点ももちません。増え方が最後まで変わらない、これ以上単純にできない増加の形です。

特徴的な点

通る点は $x$ 座標と $y$ 座標が等しい点ばかりです。この直線は $x$ と $y$ が同じ値であるという条件そのものを表しています。

$x$	$y = x$
$-2$	$-2$
$-1$	$-1$
$0$	$0$
$1$	$1$
$2$	$2$
$100$	$100$

逆関数の鏡

直線 $y = x$ は、関数とその逆関数を映す鏡になります。 $y = f(x)$ のグラフと $y = f^{-1}(x)$ のグラフは、この直線に関して線対称です。点 $(a, b)$ が一方のグラフ上にあることと、点 $(b, a)$ がもう一方のグラフ上にあることが、同じ意味になるからです。

関数	逆関数
$y = e^x$	$y = \ln x$
$y = x^2$ （ $x \geq 0$ ）	$y = \sqrt{x}$
$y = 2x + 1$	$y = \dfrac{x - 1}{2}$
$y = x$	$y = x$

最後の行のとおり、 $y = x$ 自身は逆関数が自分と一致します。鏡に映しても動かない、鏡そのものだからです。

一般の一次関数との関係

一次関数の一般形は次の式です。

y = ax + b

$y = x$ は $a = 1$ 、 $b = 0$ の場合にあたります。 $a$ を変えると傾きが変わって直線が回転し、 $b$ を変えると上下に平行移動します。 $a = 0$ のときだけは $y = b$ という水平な直線になり、 $x$ が変わっても $y$ が動かないので、一次関数とは呼びません。

応用

予測値と実測値の散布図で、当てはまりのよさをはかる基準線
比例定数が $1$ の、最も素朴な比例のモデル
何も変えないという操作、すなわち恒等写像
関数とその逆関数を見くらべるときの対称軸

一次関数 y=xy = xy=x のグラフ