二点を通る直線

異なる $2$ 点を通る直線は、ただ $1$ 本に決まります。点が $1$ つだけでは、そこを通る直線はいくらでも引けますが、$2$ つ目の点を決めた瞬間に向きが定まり、直線は $1$ 本しか残りません。ここでは $A(1, 1)$ と $B(3, 5)$ の $2$ 点を通る直線を求めます。

傾きを求める

傾きは $x$ が $1$ 増えるあいだに $y$ がどれだけ増えるかを表し、$2$ 点の $y$ の差を $x$ の差で割って計算します。

式を作る

傾き $2$ で点 $A(1, 1)$ を通ることから式を作ります。直線を $y = 2x + b$ とおき、$A$ の座標を代入すると $1 = 2 \cdot 1 + b$ より $b = -1$ です。よって直線の式は $y = 2x - 1$ となります。

もう一方の点 $B(3, 5)$ でも確かめましょう。$2 \cdot 3 - 1 = 5$ となり、確かに $B$ を通ります。$A$ の代わりに $B$ を代入して $b$ を求めても同じ $b = -1$ が出るので、どちらの点を使ってもかまいません。

点と傾きから作る形

一般に、$2$ 点 $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$ を通る直線の傾きは $\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ です。これを $m$ とすると、点 $(x_1, y_1)$ を通り傾き $m$ の直線は次の式で書けます。

この形なら切片 $b$ を計算しなくてもすぐ式が立ちます。実際 $y - 1 = 2(x - 1)$ を整理すれば $y = 2x - 1$ です。

$2$ 点をそのまま使う形

$2$ 点の座標をそのまま入れた次の形もよく使われます。

左辺と右辺は、$A$ から $B$ へ向かうとき縦にどれだけ進んだか、横にどれだけ進んだかの割合を表していて、直線の上ではこの $2$ つの割合がつねに等しくなります。$A(1, 1)$、$B(3, 5)$ を入れると $\dfrac{y - 1}{4} = \dfrac{x - 1}{2}$ となり、整理すればやはり $y = 2x - 1$ です。

縦の直線をふくむ形

$x_1 = x_2$ のときだけは注意が必要です。$2$ 点の $x$ が同じだと分母が $0$ になり、傾きが定まりません。このとき $2$ 点を通るのは縦の直線で、その式は $y = mx + b$ の形では書けず、$x = x_1$ と書きます。$y$ 軸に平行な直線は傾きをもたないのです。

分母をはらった次の形なら、この場合も分けずに書けます。

$x_1 = x_2$ を入れると右辺が $0$ になり、$2$ 点は異なるので $y_2 \neq y_1$ から $x = x_1$ が残ります。縦の直線もこの $1$ つの式で表せるわけです。

媒介変数で表す

$2$ 点を結ぶ向きに沿って進む書き方もあります。$t$ を実数として、次のように表せます。

$t = 0$ で $A$、$t = 1$ で $B$ に対応し、$0 \leq t \leq 1$ の範囲が線分 $AB$、それ以外が線分の外側の部分にあたります。この形も縦の直線をそのまま表せます。

共線の判定

$3$ 点が同じ直線上に並んでいるかを確かめたいときも、この考え方を使います。$A$ と $B$ から求めた傾きと、$A$ と $C$ から求めた傾きが等しければ、$3$ 点は一直線上にあります。分母を気にせず書くなら、次の式が $0$ になることが条件です。

この値は $3$ 点が作る三角形の面積を $2$ 倍したもの（符号つき）にあたります。$0$ になることは三角形がつぶれること、つまり $3$ 点が一直線に並ぶことを意味します。

グラフ上の大きな点が、通る $2$ 点 $A$ と $B$ です。