平行な直線と垂直な直線

2 直線の傾きをくらべると、平行か垂直かが分かります。

傾きが等しい 2 直線は平行で、交わりません。たとえば $y = 2x - 1$ と $y = 2x + 3$ はどちらも傾きが $2$ で、$x$ が増えると同じ割合で上がるので、上下にずれたまま永遠に交わりません。実際、$2x - 1 = 2x + 3$ とおくと $-1 = 3$ となり、成り立つ $x$ がなく解なしです。

傾きの積が $-1$ になる 2 直線は垂直に交わります。傾き $2$ の直線と垂直な直線の傾きを $m$ とすると、$2m = -1$ より $m = -\dfrac{1}{2}$ です。傾き $-\dfrac{1}{2}$ で点 $(1, 1)$ を通る直線は $y = \dfrac{3 - x}{2}$ で、これは $y = 2x - 1$ と点 $(1, 1)$ で直角に交わります。

まとめると、2 直線の傾きを $m_1, m_2$ とすると、$m_1 = m_2$ なら平行、$m_1 m_2 = -1$ なら垂直です。グラフでは、傾き $2$ の平行な 2 本と、それらに垂直な 1 本が引いてあり、大きな点が垂直に交わる点 $(1, 1)$ です。