平行な直線と垂直な直線

$2$ 直線の傾きをくらべると、平行か垂直かが分かります。どちらも傾きだけで決まる関係で、切片は関係しません。

平行な直線

傾きが等しい $2$ 直線は平行で、交わりません。たとえば $y = 2x - 1$ と $y = 2x + 3$ はどちらも傾きが $2$ で、 $x$ が増えると同じ割合で上がるので、上下にずれたまま永遠に交わりません。実際、 $2x - 1 = 2x + 3$ とおくと $-1 = 3$ となり、成り立つ $x$ がなく解なしです。

垂直な直線

傾きの積が $-1$ になる $2$ 直線は垂直に交わります。傾き $2$ の直線に垂直な直線の傾きを $m$ とすると、 $2m = -1$ より $m = -\dfrac{1}{2}$ です。傾き $-\dfrac{1}{2}$ で点 $(1, 1)$ を通る直線は $y = \dfrac{3 - x}{2}$ で、これは $y = 2x - 1$ と点 $(1, 1)$ で直角に交わります。

なぜ積が $-1$ になるのか

傾き $m$ の直線は、右へ $1$ 進むと $m$ だけ上がるので、 $(1, m)$ という向きをもちます。同じように傾き $m'$ の直線の向きは $(1, m')$ です。 $2$ つの向きが垂直であることは、内積が $0$ になることと同じです。

1 \cdot 1 + m m' = 0

整理すると $m m' = -1$ が得られます。傾きの積が $-1$ という条件は、向きベクトルの内積が $0$ という条件を書き直したものです。

一般形での判定

傾きでは判定できない組み合わせが $1$ つあります。水平な直線 $y = c$ と縦の直線 $x = c$ は明らかに直角に交わりますが、 $x = c$ には傾きがないため積を計算できません。一般形 $ax + by + c = 0$ で考えると、この例外もふくめて統一的に判定できます。

$2$ 直線の関係	条件
平行	$a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$
垂直	$a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$

$(a, b)$ は直線に垂直なベクトル（法線ベクトル）です。法線どうしが平行なら直線も平行、法線どうしが垂直なら直線も垂直、と読めます。 $y = c$ は $0 \cdot x + 1 \cdot y - c = 0$ 、 $x = c$ は $1 \cdot x + 0 \cdot y - c = 0$ なので、 $a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$ となり、確かに垂直と判定されます。

平行な直線のあいだの距離

平行な $2$ 直線の間隔も測れます。 $y = 2x - 1$ 上の点 $(0, -1)$ から、直線 $2x - y + 3 = 0$ までの距離を点と直線の距離の公式で求めます。

\frac{|2 \cdot 0 - (-1) + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}

平行なのでこの値はどこで測っても同じで、それが $2$ 直線のへだたりです。

まとめ

傾きが等しければ平行、傾きの積が $-1$ なら垂直
縦の直線がからむときは、一般形の $a_1 b_2 - a_2 b_1$ と $a_1 a_2 + b_1 b_2$ で判定する
垂直の関係は、垂線を下ろす問題、線分の垂直二等分線、円の接線などで使われる

グラフでは、傾き $2$ の平行な $2$ 本と、それらに垂直な $1$ 本が引いてあり、大きな点が垂直に交わる点 $(1, 1)$ です。

平行な直線と垂直な直線