二次不等式

二次不等式は、二次関数のグラフが $x$ 軸より上か下かで解けます。 $x^2 - x - 6 > 0$ を解きます。

境目を求める

まず等号のとき、 $x^2 - x - 6 = 0$ を解くと $(x - 3)(x + 2) = 0$ より $x = 3, -2$ です。これは放物線 $y = x^2 - x - 6$ が $x$ 軸と交わる点で、数直線を $3$ つの範囲に区切ります。

グラフで読む

$x^2 - x - 6 > 0$ は $y$ が正、つまりグラフが $x$ 軸より上にある範囲です。この放物線は下に凸なので、 $2$ つの交点の外側で上に、内側で下にきます。

不等式	解
$x^2 - x - 6 > 0$	$x < -2$ または $x > 3$
$x^2 - x - 6 \geq 0$	$x \leq -2$ または $x \geq 3$
$x^2 - x - 6 < 0$	$-2 < x < 3$
$x^2 - x - 6 \leq 0$	$-2 \leq x \leq 3$

等号がつくかどうかで、境目の $2$ 点を入れるか外すかだけが変わります。

因数の符号で読む

グラフを使わず、因数の符号だけで考えることもできます。 $(x - 3)(x + 2) > 0$ となるのは、 $2$ つの因数が同符号のときです。ともに正なら $x > 3$ 、ともに負なら $x < -2$ となります。逆に積が負になるのは符号が食い違うときで、そのとき $-2 < x < 3$ です。グラフで見ても因数で見ても、同じ答えにたどりつきます。

係数が負のとき

$x^2$ の係数が負のときは注意が必要です。上に凸の放物線では上下が入れかわるので、 $-x^2 + x + 6 > 0$ のような式は、両辺に $-1$ を掛けて $x^2 - x - 6 < 0$ と直してから解くのが安全です。このとき不等号の向きが反転することを忘れないでください。

判別式が $0$ 以下のとき

判別式が $0$ 以下のときは、交点がないぶん答えが極端になります。

条件	$> 0$ の解	$< 0$ の解
$D = 0$	$x \neq p$	なし
$D < 0$	すべての実数	なし

いずれも下に凸の場合です。 $D = 0$ では $(x - p)^2$ の形になり、 $x = p$ の $1$ 点だけが等号を満たします。 $D < 0$ では放物線全体が $x$ 軸より上にあるので、正であることがつねに成り立ちます。

応用

真上に投げ上げた物体の高さが $h = -5t^2 + 20t$ （ $h$ はメートル、 $t$ は秒）と表されるとき、高さが $15$ メートル以上になる時間帯は次の不等式で求まります。

-5t^2 + 20t \geq 15

両辺を $-5$ で割って不等号を反転させると $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ 、因数分解して $(t - 1)(t - 3) \leq 0$ となり、答えは $1 \leq t \leq 3$ です。投げ上げてから $1$ 秒後から $3$ 秒後までのあいだ、物体は $15$ メートル以上の高さにあります。

下に凸の二次不等式は、 $> 0$ なら $2$ 解の外側、 $< 0$ なら $2$ 解の内側と覚えられます。グラフの大きな点が境目の $(3, 0)$ と $(-2, 0)$ で、その外側で放物線が $x$ 軸より上にあります。