二次不等式

二次不等式は、二次関数のグラフが $x$ 軸より上か下かで解けます。$x^2 - x - 6 > 0$ を解きます。

まず等号のとき、$x^2 - x - 6 = 0$ を解くと $(x - 3)(x + 2) = 0$ より $x = 3, -2$ です。これは放物線 $y = x^2 - x - 6$ が $x$ 軸と交わる点で、数直線を 3 つの範囲に区切ります。

$x^2 - x - 6 > 0$ は「$y$ が正」、つまりグラフが $x$ 軸より上にある範囲です。この放物線は下に凸なので、2 つの交点の外側で上に、内側で下にきます。したがって解は $x < -2$ または $x > 3$ です。

逆に $x^2 - x - 6 < 0$ なら、グラフが $x$ 軸より下にある内側の範囲 $-2 < x < 3$ が解になります。

下に凸の二次不等式は「$> 0$ なら 2 解の外側、$< 0$ なら 2 解の内側」と覚えられます。グラフの大きな点が境目の $(3, 0)$ と $(-2, 0)$ で、その外側で放物線が $x$ 軸より上にあります。