常用対数 $y = \log_{10} x$ のグラフ

$y = \log_{10} x$ は底を $10$ とする対数で、$10$ を何乗すると $x$ になるかを表します。常用対数と呼ばれ、$10^{\log_{10} x} = x$ が成り立ちます。$10$ 進法で桁を測るものさしです。

定義域と値域

$10^y$ はつねに正なので、定義域は $x > 0$ です。値域はすべての実数で、$x$ が $1$ より小さければ値は負になります。

増減とグラフの形

導関数は次のようになります。

$\ln 10 \approx 2.303$ は正の定数なので、$x > 0$ では $y' > 0$ となり単調に増加します。同じ $x$ での傾きは $\ln x$ のおよそ $0.434$ 倍で、自然対数よりさらにゆるやかです。二階導関数は負で、グラフは全体が上に凸です。

漸近線

$x \to 0^{+}$ では $-\infty$ に発散し、$y$ 軸（直線 $x = 0$）が垂直漸近線です。$x \to +\infty$ では $+\infty$ に発散しますが、その歩みはきわめて遅く、値が $1$ 増えるのに $x$ が $10$ 倍必要です。

$10$ 倍ごとに $1$ 増える

$\log_{10}(10x) = \log_{10} x + 1$ が成り立ちます。

正の整数 $N$ の桁数が $\lfloor \log_{10} N \rfloor + 1$ で求まるのも、この性質からです。

特徴的な点

$(1, 0)$、$(10, 1)$、$(100, 2)$、$\left( \dfrac{1}{10}, -1 \right)$ を通ります。$\log_{10} 2 \approx 0.301$、$\log_{10} 3 \approx 0.477$ で、$2^{10} = 1024$ が $10^3$ に近いことは $10 \times 0.301 = 3.01$ という形で現れます。

自然対数との関係

逆関数は $10^x$ で、$2$ つのグラフは直線 $y = x$ に関して線対称です。自然対数とは次の関係にあります。

グラフは $\ln x$ を縦に約 $0.434$ 倍へ縮めたものです。形はまったく同じで、$(1, 0)$ を通り $y$ 軸を漸近線とする点も変わりません。対数のグラフは、底が変わっても縦の縮尺が変わるだけです。

応用

桁の大きさを測るのに使われます。

マグニチュードが $1$ 増えるとエネルギーは約 $32$ 倍になるように、対数の目盛の上では $1$ 目盛が何倍かを意味します。桁が何桁も違う量を一枚のグラフに収める片対数・両対数グラフも、この関数のはたらきです。