sinc 関数 $y = \dfrac{\sin x}{x}$ のグラフ

$y = \dfrac{\sin x}{x}$ は「シンク関数（sinc）」と呼ばれ、正弦を $x$ で割った関数です。ここでは正規化しない形（非正規化 sinc）を扱います。

定義と特異点

式のうえでは $x = 0$ で分母が $0$ になりますが、極限

が存在するため、$x = 0$ は除去可能な特異点です。値を $1$ と定めればグラフは切れ目なくつながり、点 $(0,\ 1)$ を通ります。

定義域と値域・対称性

$x = 0$ を上のように補えば定義域はすべての実数です。$\sin x$ も $x$ もともに奇関数なので、その商は偶関数となり、グラフは $y$ 軸に関して対称です。最大値は $x = 0$ での $1$ です。

増減と極限

$x \to \pm\infty$ では $|\sin x| \le 1$ に対して分母 $|x|$ がいくらでも大きくなるため、$\dfrac{\sin x}{x} \to 0$ となります。振幅は $\pm\dfrac{1}{x}$ の包絡線に沿って減衰し、$0$ を中心に振動しながら小さくなっていきます。

零点

分子 $\sin x = 0$ かつ $x \ne 0$ となる点、すなわち $x = n\pi$（$n \ne 0$、たとえば $\pm\pi,\ \pm 2\pi,\ \dots$）で $0$ になります。$x = 0$ は零点ではなく、逆に最大値をとる点である点に注意します。

極値と具体的な値

極大・極小は隣り合う零点の間に一つずつ現れ、原点から離れるほど包絡線 $\dfrac{1}{|x|}$ に従って小さくなります。たとえば $x = \dfrac{\pi}{2}$ では $\dfrac{\sin(\pi/2)}{\pi/2} = \dfrac{2}{\pi} \approx 0.64$ です。原点の次に現れる谷（$x \approx 4.49$）での最小値はおよそ $-0.217$ で、関数の値はつねに約 $-0.217$ 以上 $1$ 以下に収まります。

他の関数との関係・応用

sinc 関数は方形パルスのフーリエ変換として現れ、信号処理・フーリエ解析・光の回折の解析などで中心的な役割を果たします。標本化定理では、離散的な標本値から連続信号を復元する補間関数（理想ローパスフィルタ）として使われます。なお $\dfrac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ の形を正規化 sinc と呼び、零点がちょうど整数に来るように調整したものです。