y = \operatorname{sgn}(\sin x)

方形波 $y = \operatorname{sgn}(\sin x)$ のグラフ

$y = \operatorname{sgn}(\sin x)$ は、正弦 $\sin x$ の符号だけを取り出した関数で、値が $+1$ と $-1$ を交互に繰り返す方形波（矩形波）を表します¹。

定義

符号関数は次で定義されます。

\operatorname{sgn}(t) = \begin{cases} +1 & (t > 0) \\ 0 & (t = 0) \\ -1 & (t < 0) \end{cases}

これを $t = \sin x$ に適用したものが本関数です。

定義域はすべての実数で、値域は $-1$ 、 $0$ 、 $+1$ の $3$ つの値だけです。

周期は $\sin x$ と同じ $2\pi$ です。また $\operatorname{sgn}(\sin(-x)) = -\operatorname{sgn}(\sin x)$ が成り立つので、原点に関して点対称な奇関数です。

$x = n\pi$ ごとに値が $+1$ と $-1$ の間で不連続に跳びます。跳びの大きさは $2$ で、その瞬間の値は $0$ です。 $\sin x$ のなめらかな波とは対照的に、水平な線分と垂直な跳びだけからなる形になります。

$1$ 周期のうちに跳びが $2$ 回あり、それ以外の場所では導関数が $0$ です。傾きをもたないまま値だけが切り替わる、階段関数の仲間らしい構造です。

方形波は奇数次の正弦の和で表せます。

\operatorname{sgn}(\sin x) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1}

係数が $\dfrac{1}{2k+1}$ でしか減らないため収束は遅く、よい近似には多くの項が必要です。有限項で近似すると跳びの付近で行き過ぎが残り、これはギブス現象と呼ばれます²。項数を増やしても行き過ぎの高さは約 $9\%$ のまま消えず、幅だけが狭くなっていきます。

波形	現れる倍音	係数の減り方
方形波	奇数次	$\dfrac{1}{n}$
三角波	奇数次	$\dfrac{1}{n^{2}}$

跳びをもつ波形は係数の減りが遅く、角だけをもつ波形は速い、という一般則が見てとれます。