y=sgn⁡(sin⁡x)y = \operatorname{sgn}(\sin x)

方形波 y=sgn⁡(sin⁡x)y = \operatorname{sgn}(\sin x) のグラフ

y=sgn⁡(sin⁡x)y = \operatorname{sgn}(\sin x) は、正弦 sin⁡x\sin x の符号だけを取り出した関数で、値が +1+1 と −1-1 を交互に繰り返す方形波（矩形波）を表します。

定義と式

符号関数 sgn⁡\operatorname{sgn} は次で定義されます。

sgn⁡(t)={+1(t>0)0(t=0)−1(t<0)\operatorname{sgn}(t) = \begin{cases} +1 & (t > 0) \\ 0 & (t = 0) \\ -1 & (t < 0) \end{cases}

これを t=sin⁡xt = \sin x に適用したものが本関数です。

値と定義域・値域

定義域はすべての実数です。sin⁡x>0\sin x > 0 となる区間では +1+1、sin⁡x<0\sin x < 0 となる区間では −1-1 をとり、sin⁡x=0\sin x = 0 すなわち x=nπx = n\pi ではちょうど 00 になります。したがって値域は {−1, 0, +1}\{-1,\ 0,\ +1\} の 33 つの値だけです。

周期性と対称性

周期は sin⁡x\sin x と同じ 2π2\pi です。0<x<π0 < x < \pi では +1+1、π<x<2π\pi < x < 2\pi では −1-1 という一定値をとります。また sgn⁡(sin⁡(−x))=sgn⁡(−sin⁡x)=−sgn⁡(sin⁡x)\operatorname{sgn}(\sin(-x)) = \operatorname{sgn}(-\sin x) = -\operatorname{sgn}(\sin x) より、（不連続点を除いて）原点に関して点対称な奇関数の対称性をもちます。

不連続点

x=nπx = n\pi ごとに値が +1+1 と −1-1 の間で不連続にジャンプします。ジャンプの大きさは 22 で、その瞬間の値は 00 です。sin⁡x\sin x のなめらかな波とは対照的に、水平な線分と垂直なジャンプだけからなる階段状（方形）の形になります。

他の関数との関係

方形波はフーリエ級数に展開でき、

sgn⁡(sin⁡x)=4π∑k=0∞sin⁡((2k+1)x)2k+1\operatorname{sgn}(\sin x) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}

のように奇数次の正弦の和で表せます。有限項で近似すると角の付近で行き過ぎが残るギブス現象が観察されます。

応用

方形波はデジタル回路のクロック信号やオンオフ制御、パルス幅変調（PWM）、電子音の合成など、工学の幅広い分野で基本的な波形として使われます。