対数関数 $y = \log_2 x$ のグラフ

$y = \log_2 x$ は底を $2$ とする対数で、「$2$ を何乗すると $x$ になるか」を表します。たとえば $2^3 = 8$ なので $\log_2 8 = 3$ です。指数関数 $y = 2^x$ の逆関数にあたります。

真数 $x$ は正でなければならないので定義域は $x > 0$、値域はすべての実数です。底が $1$ より大きいので単調に増加し、$0 < x < 1$ では負の値をとります。

通る点を挙げると、$x$ が $2$ 倍になるごとに値がちょうど $1$ 増えることがわかります。

• $(1, 0)$：$\log_2 1 = 0$
• $(2, 1)$：$\log_2 2 = 1$
• $(4, 2)$：$\log_2 4 = 2$
• $(8, 3)$：$\log_2 8 = 3$
• $\left(\dfrac{1}{2},\, -1\right)$：$\log_2 \dfrac{1}{2} = -1$

$x \to 0^{+}$ では $-\infty$ に発散し、$y$ 軸（$x = 0$）が垂直漸近線になります。$x \to +\infty$ ではゆっくりと $+\infty$ へ増え続けます。導関数は $y' = \dfrac{1}{x \ln 2}$ で常に正、二次導関数は負なので、グラフは上に凸です。点 $(1, 0)$ での接線の傾きは $y'(1) = \dfrac{1}{\ln 2} \approx 1.4427$ です。

指数関数 $2^x$ とは直線 $y = x$ に関して対称で、$2^x$ が急上昇するのに対し $\log_2 x$ はゆっくりとしか増えません。情報理論では、確率 $p$ の事象が起きたと知ったときの情報量が $-\log_2 p$ ビットで与えられ、これがシャノンのエントロピーの基礎になっています。

底の変換公式により $\log_2 x = \dfrac{\ln x}{\ln 2} \approx 1.4427\,\ln x$ となり、自然対数 $\ln x$ を定数倍しただけの形です。したがって $\ln x$ や $\log_{10} x$ とはグラフの縦の伸び縮みだけが違い、形はそっくりです。

$2$ を底とする対数は情報科学で特に重要です。情報量の単位「ビット」はまさに $\log_2$ で測られ、$n$ 個の選択肢を区別するのに必要なビット数は $\log_2 n$ です。二分探索やマージソートのように問題を半分ずつに分ける計算量が $O(\log_2 n)$ になることや、音楽の $1$ オクターブ（周波数 $2$ 倍）を測るときにも登場します。