対数関数 $y = \log_2 x$ のグラフ

$y = \log_2 x$ は底を $2$ とする対数で、$2$ を何乗すると $x$ になるかを表します。たとえば $2^3 = 8$ なので $\log_2 8 = 3$ です。指数関数 $y = 2^x$ の逆関数にあたります。

定義域と値域

真数 $x$ は正でなければならないので定義域は $x > 0$、値域はすべての実数です。底が $1$ より大きいので単調に増加し、$0 < x < 1$ では負の値をとります。

$2$ 倍ごとに $1$ 増える

$x$ が $2$ 倍になるごとに、値がちょうど $1$ 増えます。

増減と漸近線

$x \to 0^{+}$ では $-\infty$ に発散し、$y$ 軸（$x = 0$）が垂直漸近線になります。$x \to +\infty$ ではゆっくりと $+\infty$ へ増え続けます。導関数は次のようになります。

つねに正で、二階導関数は負なのでグラフは上に凸です。点 $(1, 0)$ での接線の傾きは $y'(1) = \dfrac{1}{\ln 2} \approx 1.4427$ です。

指数関数との対称性

指数関数 $2^x$ とは直線 $y = x$ に関して対称で、$2^x$ が急上昇するのに対し $\log_2 x$ はゆっくりとしか増えません。

底の変換

底の変換公式により、自然対数の定数倍で書けます。

したがって $\ln x$ や $\log_{10} x$ とはグラフの縦の伸び縮みだけが違い、形はそっくりです。

応用

$2$ を底とする対数は情報科学でとくに重要です。

• 情報量の単位ビットは $\log_2$ で測られる
• $n$ 個の選択肢を区別するのに必要なビット数は $\log_2 n$
• 二分探索やマージソートの計算量は $O(\log_2 n)$
• 音楽の $1$ オクターブ（周波数 $2$ 倍）を測るときにも登場する

確率 $p$ の事象が起きたと知ったときの情報量は $-\log_2 p$ ビットで、これがシャノンのエントロピーの基礎になっています。