関数 $y = x e^{-x}$ のグラフ

$y = x e^{-x}$ は一次式 $x$ と減衰指数 $e^{-x}$ の積です。定義域はすべての実数で、原点 $(0, 0)$ を通ります。$x > 0$ では正、$x < 0$ では負の値をとります。

$x$ は $x$ とともに大きくなろうとし、$e^{-x}$ は値を $0$ へ抑えつけようとします。この綱引きの結果、グラフはいったん山を作ってから $0$ に近づく、特徴的な形になります。導関数は積の微分法から次のようになります。

$e^{-x} > 0$ なので符号は $1 - x$ で決まり、$x < 1$ で増加、$x > 1$ で減少します。したがって $x = 1$ で最大値 $1 \cdot e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0.368$ をとります。

$x \to +\infty$ では、指数の減衰が一次の増加に勝つため $0$ に近づき、$x$ 軸が水平漸近線になります。一方 $x \to -\infty$ では $x < 0$ かつ $e^{-x} \to +\infty$ なので $-\infty$ に発散します。二次導関数は $y'' = (x - 2)e^{-x}$ で、$x = 2$ の前後で符号が変わるため、$x = 2$ が変曲点（値は $2e^{-2} \approx 0.271$）です。

代表的な値を挙げると次のとおりで、山を越えた後は $0$ へ向けてなだらかに減っていきます。

• $x = 0$ で $y = 0$
• $x = 1$ で $y = \dfrac{1}{e} \approx 0.368$（最大）
• $x = 2$ で $y = \dfrac{2}{e^2} \approx 0.271$（変曲点）
• $x = 3$ で $y = \dfrac{3}{e^3} \approx 0.149$

曲線は左右非対称で、山の左側は原点から急に立ち上がり、右側は長く裾を引きます。$x \geq 0$ の部分の面積は $\displaystyle\int_0^{\infty} x e^{-x}\,dx = 1$ となり、これはガンマ関数の値 $\Gamma(2) = 1! = 1$ に対応します。この結果は、$x^k e^{-x}$ が確率密度としてきれいに正規化できることを示しています。

これは $x^k e^{-x}$ という形の最も簡単な例（$k = 1$）で、統計学のガンマ分布やアーラン分布の確率密度と同じ骨格をもちます。待ち行列理論や信号処理、放射性崩壊の連鎖など、「増加要因と減衰要因がせめぎ合う」現象のモデルとして広く使われます。