二次関数どうしの交点

2 つの放物線（二次関数のグラフ）が交わる点も、これまでと同じ考え方で求められます。交点では 2 つの $y$ が等しいので、2 つの式を等しいとおいて方程式にします。ここでは上に開いた放物線 $y = x^2$ と、下に開いた放物線 $y = -x^2 + k$ の交わり方を見ます。

たとえば $y = x^2$ と $y = -x^2 + 2$ を等しいとおくと、$x^2 = -x^2 + 2$ から $2x^2 = 2$、つまり $x^2 = 1$ となり、$x = 1, -1$ の 2 つが出ます。それぞれ $y = x^2$ に戻すと $y = 1$ なので、交点は $(1, 1)$ と $(-1, 1)$ の 2 点です。どちらの放物線に代入しても同じ $y = 1$ になり、確かに 2 つの放物線の共有点になっています。

このときも、方程式の実数解の個数がそのまま交点の個数になります。$2x^2 = k$、つまり $2x^2 - k = 0$ の判別式は $D = 8k$ で、その符号で個数が決まります。$k > 0$ なら 2 点、$k = 0$ なら 1 点で接し、$k < 0$ なら交わりません。

$k = 0$、つまり $y = x^2$ と $y = -x^2$ では、$2x^2 = 0$ から $x = 0$ の重解になります。2 つの放物線は原点 $(0, 0)$ でぴったり触れ合い、そこから上と下へ分かれていきます。これが 2 つの放物線が 接する ときで、$(0, 0)$ が接点です。

$k = -2$、つまり $y = x^2$ と $y = -x^2 - 2$ では、$2x^2 = -2$ から $x^2 = -1$ となり、実数解がありません。$y = x^2$ の値はつねに $0$ 以上、$y = -x^2 - 2$ の値はつねに $-2$ 以下なので、2 つが同じ値になることはなく、上に開く放物線がつねに上、下に開く放物線がつねに下にあって交わりません。

ちなみに、2 つの放物線の $x^2$ の係数が同じとき（たとえば $y = x^2$ と $y = x^2 + 3$）は、$x^2$ が打ち消し合って一次方程式になり、交点はあっても 1 つだけ、または平行にずれて 0 個になります。$x^2$ の係数がちがうときに、0・1・2 と交点の数が変わります。

まとめると、2 つの二次関数の交点も、式を等しくおいてできる方程式の実数解の個数で決まります。グラフ上の大きな点が、交点と接点の位置です。