二次関数どうしの交点

$2$ つの放物線が交わる点も、これまでと同じ考え方で求められます。交点では $2$ つの $y$ が等しいので、$2$ つの式を等しいとおいて方程式にします。ここでは上に開いた放物線 $y = x^2$ と、下に開いた放物線 $y = -x^2 + k$ の交わり方を見ます。

交点を求める

$y = x^2$ と $y = -x^2 + 2$ を等しいとおきます。

整理すると $2x^2 = 2$、つまり $x^2 = 1$ となり、$x = 1, -1$ の $2$ つが出ます。それぞれ $y = x^2$ に戻すと $y = 1$ なので、交点は $(1, 1)$ と $(-1, 1)$ の $2$ 点です。どちらの放物線に代入しても同じ $y = 1$ になり、確かに共有点になっています。

交点の個数

このときも、方程式の実数解の個数がそのまま交点の個数になります。$2x^2 - k = 0$ の判別式は $D = 8k$ で、その符号で個数が決まります。

接する場合

$k = 0$、つまり $y = x^2$ と $y = -x^2$ では、$2x^2 = 0$ から $x = 0$ の重解になります。$2$ つの放物線は原点 $(0, 0)$ でぴったり触れ合い、そこから上と下へ分かれていきます。これが $2$ つの放物線が接するときで、$(0, 0)$ が接点です。

交わらない場合

$k = -2$、つまり $y = x^2$ と $y = -x^2 - 2$ では、$2x^2 = -2$ から $x^2 = -1$ となり、実数解がありません。$y = x^2$ の値はつねに $0$ 以上、$y = -x^2 - 2$ の値はつねに $-2$ 以下なので、$2$ つが同じ値になることはないのです。上に開く放物線がつねに上、下に開く放物線がつねに下にあって交わりません。

$x^2$ の係数が同じとき

一般に $y = ax^2 + bx + c$ と $y = a'x^2 + b'x + c'$ を等しいとおくと、次の方程式になります。

$a = a'$ なら $2$ 乗の項が消えて $1$ 次方程式になり、交点はあっても $1$ つです。さらに $b = b'$ でもあれば、$2$ つの放物線は上下に平行にずれているだけなので交点は $0$ 個になります。$2$ 乗の項が残るときにだけ、交点の数が $0$・$1$・$2$ と変わります。

まとめ

• $2$ つの放物線の交点も、式を等しくおいた方程式の実数解で決まる
• $x^2$ の係数が違えば、交点は $0$・$1$・$2$ 個のいずれか
• $x^2$ の係数が同じなら、交点は $0$ 個か $1$ 個
• 重解になるときが接する場合

グラフ上の大きな点が、交点と接点の位置です。