内分点と外分点

線分を決まった比に分ける点を求めます。$A(1, 1)$ と $B(7, 4)$ を結ぶ線分を考えます。

内分点は線分の内側で比に分ける点です。$AP : PB = 2 : 1$ となる内分点 $P$ は、$A$ と $B$ の座標を $1 : 2$ の重みで混ぜて求めます（近いほうに大きい重み）。

一般に $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ を $m : n$ に内分する点は $\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n}, \dfrac{n y_1 + m y_2}{m + n}\right)$ です。

外分点は線分の外側で比に分ける点です。$m : n$ の外分は、内分の式の $n$ を $-n$ に変えた $\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n}, \dfrac{-n y_1 + m y_2}{m - n}\right)$ で求められます。$2 : 1$ に外分する点は $\left(\dfrac{-1 + 14}{1}, \dfrac{-1 + 8}{1}\right) = (13, 7)$ で、$B$ をこえた外側にあります。

グラフの直線は $A$ と $B$ を通る直線で、大きな点は $A(1, 1)$、$B(7, 4)$ と、$2 : 1$ の内分点 $(5, 3)$ です。