内分点と外分点

線分を決まった比に分ける点を求めます。 $A(1, 1)$ と $B(7, 4)$ を結ぶ線分を考えます。

内分点

内分点は線分の内側で比に分ける点です。 $AP : PB = 2 : 1$ となる内分点 $P$ は、 $A$ と $B$ の座標を $1 : 2$ の重みで混ぜて求めます（近いほうに大きい重み）。

P = \left( \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 7}{2 + 1}, \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 4}{2 + 1} \right) = (5, 3)

一般に $A(x_1, y_1)$ 、 $B(x_2, y_2)$ を $m : n$ に内分する点は次の式で求まります。

\left( \frac{n x_1 + m x_2}{m + n}, \frac{n y_1 + m y_2}{m + n} \right)

重みが逆に見える理由

重みが逆に見えるかもしれませんが、 $A$ から $B$ へ進む道のりで考えると納得できます。 $AP : PB = 2 : 1$ とは、 $A$ から全体の $\dfrac{2}{3}$ だけ進んだ位置ということです。

\begin{align*} x &= 1 + \frac{2}{3}(7 - 1) = 5 \\ y &= 1 + \frac{2}{3}(4 - 1) = 3 \end{align*}

同じ $(5, 3)$ が得られます。 $B$ に近い点ほど $B$ の座標が強く効くので、 $B$ 側の重みが大きくなるわけです。

比と座標の対応

比を変えると内分点がどう動くかを並べると、次のようになります。

$AP : PB$	$A$ からの割合	内分点
$1 : 3$	$\dfrac{1}{4}$	$\left( \dfrac{5}{2}, \dfrac{7}{4} \right)$
$1 : 1$	$\dfrac{1}{2}$	$\left( 4, \dfrac{5}{2} \right)$
$2 : 1$	$\dfrac{2}{3}$	$(5, 3)$
$3 : 1$	$\dfrac{3}{4}$	$\left( \dfrac{11}{2}, \dfrac{13}{4} \right)$

$1 : 1$ の内分点が中点で、座標は $x$ どうし、 $y$ どうしの単純な平均になります。

外分点

外分点は線分の外側で比に分ける点です。 $m : n$ の外分は、内分の式の $n$ を $-n$ に変えて求められます。

\left( \frac{-n x_1 + m x_2}{m - n}, \frac{-n y_1 + m y_2}{m - n} \right)

$2 : 1$ に外分する点は $(13, 7)$ で、 $B$ をこえた外側にあります。比が $1$ より大きいか小さいかで、 $B$ の側に出るか $A$ の側に出るかが決まります。 $m = n$ のときだけは分母が $0$ になり、外分点は存在しません。 $1 : 1$ に外分する点は、線分のどこまでも先にある無限の彼方だからです。

重心

内分の考え方は、三角形の重心にもつながります。三角形の重心 $G$ は各中線を頂点の側から $2 : 1$ に内分する点で、座標は $3$ 頂点の平均になります。

G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)

応用

$2$ 点のあいだの値を見積もる線形補間
図形を決まった割合で縮めたり伸ばしたりする変換
三角形の重心や、中線が $1$ 点で交わる性質

グラフの直線は $A$ と $B$ を通る直線で、大きな点は $A(1, 1)$ 、 $B(7, 4)$ と、 $2 : 1$ の内分点 $(5, 3)$ です。