y = \sec x

正割関数 $y = \sec x$ のグラフ

正割関数 $y = \sec x$ は、余弦関数 $\cos x$ の逆数として定義される三角関数です¹。「セカント」と読み、直角三角形では斜辺を隣辺（底辺）で割った比に対応します。

定義

\sec x = \frac{1}{\cos x}

分母が余弦なので、余弦の値がそのまま逆数となって現れます。

$-1 \leq \cos x \leq 1$ かつ $\cos x \neq 0$ より $|\sec x| \geq 1$ となり、 $-1 < y < 1$ の範囲の値は決してとりません。もとの余弦が収まっていた帯の外側だけを、正割は動きます。

$\cos x$ が偶関数なので $\sec(-x) = \sec x$ が成り立ち、 $y$ 軸に関して対称です。周期は余弦と同じ $2\pi$ です。

$x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ の各点に垂直な漸近線をもちます。

近づき方	$\cos x$	$\sec x$
$x \to \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{-}$	$0^{+}$	$+\infty$
$x \to \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{+}$	$0^{-}$	$-\infty$

導関数は $\dfrac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan x$ です。隣り合う漸近線の間では U 字型または逆 U 字型の曲線になります。

$x$	$\cos x$	$\sec x$	極値
$2n\pi$	$1$	$1$	極小
$(2n+1)\pi$	$-1$	$-1$	極大

余弦が最大のところで正割は最小になり、余弦が最小のところで正割は最大になります。逆数をとると大小が入れかわるためで、値が $0$ に近いところほど正割は大きく振れます。

三角関数の基本の公式に現れます。

1 + \tan^2 x = \sec^2 x

余割 $\csc x$ とは $\sec x = \csc\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$ で結ばれ、正弦と余弦の関係がそのまま逆数側へ移ります。

\int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C

メルカトル図法では、緯度 $\varphi$ の地点で東西方向の縮尺が $\sec\varphi$ 倍になります²。高緯度ほど地図が大きく引き伸ばされるのは、この関数が急に大きくなるためです。