正割関数 $y = \sec x$ のグラフ

正割関数 $y = \sec x$ は、余弦関数 $\cos x$ の逆数として定義される三角関数です。「セカント」と読み、直角三角形では斜辺を隣辺（底辺）で割った比に対応します。

定義と式

分母が余弦なので、余弦の値がそのまま逆数となって現れます。

定義域と値域

$\cos x = 0$ となる $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$（$n$ は整数）では分母が $0$ になり定義できません。したがって定義域はこれらの点を除いた実数全体です。また $-1 \le \cos x \le 1$ かつ $\cos x \ne 0$ より $|\sec x| \ge 1$ となり、値域は $y \le -1$ または $y \ge 1$ です。$-1 < y < 1$ の範囲の値は決してとりません。

対称性と周期性

$\cos x$ が偶関数なので $\sec(-x) = \sec x$ が成り立ち、$y = \sec x$ は $y$ 軸に関して対称な偶関数です。周期は余弦と同じ $2\pi$ です。

漸近線と極限

$x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ の各点に垂直な漸近線をもちます。$x$ が $\dfrac{\pi}{2}$ に左から近づくと $\cos x \to 0^{+}$ なので $\sec x \to +\infty$、右から近づくと $\cos x \to 0^{-}$ なので $\sec x \to -\infty$ となります。

増減と特徴的な点

隣り合う漸近線の間では $U$ 字型または逆 $U$ 字型の曲線になります。$\cos x$ が最大値 $1$ をとる $x = 2n\pi$ で $\sec x$ は極小値 $1$ をとり、$\cos x$ が最小値 $-1$ をとる $x = (2n+1)\pi$ で $\sec x$ は極大値 $-1$ をとります。たとえば $\sec 0 = 1$、$\sec \pi = -1$ です。導関数は $\dfrac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan x$ です。

他の関数との関係

$\sec x$ は余弦の逆数であり、余割 $\csc x$ とは $\sec x = \csc\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$ で結ばれます。三角関数の公式 $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ にも現れます。

応用

正割は積分 $\int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$ や、地図のメルカトル図法、斜面・光の屈折の計算などに登場します。