三角関数と直線の交点

三角関数と直線の交点は、三角方程式を解くことにあたります。$y = \sin x$ と直線 $y = \dfrac{1}{2}$ の交点を求めます。

交点では $\sin x = \dfrac{1}{2}$ です。$0 \leq x < 2\pi$ の範囲では、これを満たすのは $x = \dfrac{\pi}{6}$ と $x = \dfrac{5\pi}{6}$ の 2 つです。$\sin$ は $x = \dfrac{\pi}{6}$ と、それと左右対称な $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$ で同じ値 $\dfrac{1}{2}$ をとります。

ただし $\sin x$ は周期 $2\pi$ でくり返すので、交点はこの 2 つだけではありません。$2\pi$ ごとに同じ交わり方がくり返され、解は $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ と $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$（$n$ は整数）で、無限にあります。

直線を上下に動かすと交点の個数が変わります。$-1 < k < 1$ の直線 $y = k$ では 1 周期に 2 つずつ、$k = 1$ や $k = -1$ では各周期に 1 つ（山や谷で接する）、$|k| > 1$ では交わりません。グラフの大きな点は、$0 \leq x < 2\pi$ の 2 つの交点 $\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{1}{2}\right)$ と $\left(\dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{1}{2}\right)$ です。