三角関数と直線の交点

三角関数と直線の交点を求めることは、三角方程式を解くことにあたります。ここでは $y = \sin x$ と直線 $y = \dfrac{1}{2}$ の交点を求めます。

交点を求める

交点では $\sin x = \dfrac{1}{2}$ です。$0 \leq x < 2\pi$ の範囲では、これを満たすのは次の $2$ つです。

• $x = \dfrac{\pi}{6}$
• $x = \dfrac{5\pi}{6}$

$\sin$ は $x = \dfrac{\pi}{6}$ と、それと左右対称な $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$ で同じ値 $\dfrac{1}{2}$ をとります。

なぜ解が二つ現れるのか

単位円で考えると、角 $\theta$ の点と角 $\pi - \theta$ の点は $y$ 軸に関して対称な位置にあります。$\sin$ は点の $y$ 座標ですから、左右に対称な $2$ 点の高さは等しく、次が成り立ちます。

$1$ つの値に対して解が $2$ つ現れるのは、この対称性のためです。

周期による繰り返し

$\sin x$ は周期 $2\pi$ でくり返すので、交点はこの $2$ つだけではありません。$2\pi$ ごとに同じ交わり方がくり返され、解は次の形で無限にあります。

ここで $n$ は整数です。

逆関数と主値

逆関数を使うと $\arcsin\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}$ ですが、これは $-\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$ に制限したときの主値であり、答えのうちの $1$ つにすぎません。残りは、いま見た対称性と周期性から組み立てます。

なお $\cos x = \dfrac{1}{2}$ なら対称の軸が $y$ 軸から $x$ 軸へ変わり、解は $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2n\pi$ という形になります。

直線の高さと交点の個数

直線 $y = k$ を上下に動かすと、交点の個数が変わります。

交流電圧がある値を超えている時間帯を求めるような問題も、この形の方程式に帰着します。

グラフの大きな点は、$0 \leq x < 2\pi$ の $2$ つの交点 $\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{1}{2}\right)$ と $\left(\dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{1}{2}\right)$ です。