絶対値をつけた放物線

$y = |x^2 - 1|$ のグラフを考えます。これは放物線 $y = x^2 - 1$ のうち $x$ 軸より下の部分（ $-1 < x < 1$ ）を、 $x$ 軸で上に折り返したものです。

場合分けで書く

範囲	$x^2 - 1$ の符号	$y$	グラフの形
$\|x\| \geq 1$	$0$ 以上	$x^2 - 1$	下に凸
$\|x\| < 1$	負	$1 - x^2$	上に凸（山）

後者は上に凸の放物線で、 $(0, 1)$ を頂点とする山になります。値域は $y \geq 0$ で、負の値はとりません。

折れ点

$x = -1$ と $x = 1$ 、すなわち $x^2 - 1 = 0$ となる点では、グラフが $x$ 軸に達したところで折れ曲がります。この折れ点では微分できません。 $x = 1$ の右側では傾きが $2x = 2$ 、左側では $y = 1 - x^2$ の傾き $-2x = -2$ で、左右の傾きが一致しないからです。絶対値をつけると、もとの関数が $0$ を横切る場所に角ができるのです。

角ができる条件

一般に $y = |f(x)|$ のグラフは、 $f$ のグラフの $x$ 軸より下の部分を上に折り返した形になります。ただし、 $f$ が $x$ 軸に接するだけで横切らない零点では、折り返しても角はできません。

関数	零点でのふるまい	折り返した結果
$y = \|x^2 - 1\|$	$x = \pm 1$ で横切る	角ができる
$y = \|x^2\|$	$x = 0$ で接する	$y = x^2$ のまま

符号が変わるかどうかが、角ができるかどうかを分けます。

解の個数

$|x^2 - 1| = k$ の実数解の個数を、水平線 $y = k$ との交点の数として読みます。

$k$ の範囲	実数解の個数	内訳
$k < 0$	$0$ 個	交わらない
$k = 0$	$2$ 個	折れ点 $x = \pm 1$
$0 < k < 1$	$4$ 個	山の両側と外側の $2$ か所
$k = 1$	$3$ 個	山の頂上と外側の $2$ 点
$k > 1$	$2$ 個	外側だけ

山の高さ $1$ を境に、交点の個数が変わっていくようすが読み取れます。折り返してできた山が、解の個数を増やしているのです。

対称性

$y = |x^2 - 1|$ は偶関数で、 $y$ 軸に関して対称です。もとの $x^2 - 1$ が偶関数であり、絶対値をとっても対称性は保たれるからです。大きな点が、折れ曲がる $(-1, 0)$ ・ $(1, 0)$ と山の $(0, 1)$ です。