分数関数のグラフ

分数関数 $y = \dfrac{1}{x - 1} + 2$ のグラフを考えます。これは反比例 $y = \dfrac{1}{x}$ を $x$ 方向に $1$、$y$ 方向に $2$ 平行移動したものです。$x$ を $x - 1$ に置きかえ、全体に $2$ を足した形になっています。

漸近線と対称の中心

$y = \dfrac{1}{x}$ の漸近線 $x = 0$・$y = 0$ も一緒に移り、$x = 1$（縦）と $y = 2$（横）が漸近線になります。$2$ 本の漸近線の交点 $(1, 2)$ がグラフの対称の中心です。もとの反比例が原点に関して点対称だったので、平行移動したあとは、移った先の $(1, 2)$ が対称の中心になるわけです。

定義域と値域

$x = 1$ では分母が $0$ になるので定義域は $x \neq 1$、$\dfrac{1}{x - 1}$ が $0$ にならないので値域は $y \neq 2$ です。漸近線の値がちょうど、とれない値になっています。

増減

導関数は次のようになります。

定義域のどこでも負なので、$x < 1$ の区間でも $x > 1$ の区間でも単調に減少します。ただし漸近線をまたいで比べることはできません。$\dfrac{1}{x}$ のときと同じ注意です。

見た目の違う式から

この形は、見た目の違う式からも現れます。たとえば $y = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$ の分子を分母で割ってみましょう。$2x - 1 = 2(x - 1) + 1$ なので、次のようになります。

まさに同じ関数です。一次式どうしの分数関数 $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ は、この割り算によっていつでも、反比例を平行移動して縦に伸縮した形へ直せます。分数関数のグラフがどれも似た双曲線の形をしているのは、そのためです。

点対称の確認

対称の中心について点対称であることも、確かめておきましょう。

ずれがちょうど符号だけ逆になっています。$2$ 点は $(1, 2)$ をはさんで正反対の位置にあり、確かに点対称です。

グラフでは横の漸近線 $y = 2$ を直線で示し、大きな点が対称の中心 $(1, 2)$ です。縦の漸近線 $x = 1$ の近くでグラフは急激に立ち上がります。