垂直二等分線

線分 $AB$ の垂直二等分線を求めます。$A(-1, 0)$、$B(3, 2)$ とします。

中点と傾きから求める

まず中点 $M$ は $\left( \dfrac{-1 + 3}{2}, \dfrac{0 + 2}{2} \right) = (1, 1)$ です。$AB$ の傾きは $\dfrac{2 - 0}{3 - (-1)} = \dfrac{1}{2}$ なので、垂直な直線の傾きは $-2$ です（傾きの積が $-1$）。$M(1, 1)$ を通ることから、式は次のようになります。

整理して $y = -2x + 3$ です。

等距離の点の集まりとして

この直線の本当の意味は、$A$ と $B$ から等しい距離にある点の集まりだということです。そこから式を導くこともできます。点 $(x, y)$ が $A$ と $B$ から等距離なら、次の式が成り立ちます。

両辺を $2$ 乗して展開すると、$x^2$ と $y^2$ が両辺から消えて $1$ 次式だけが残ります。

中点と垂直な傾きから求めた式と、ぴったり一致します。$2$ 乗の項が消えるからこそ、等距離という条件が直線になるのです。

検算

$M(1, 1)$ から $A(-1, 0)$ までの距離は $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$、$B(3, 2)$ までも $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ で、確かに等しくなっています。中点は垂直二等分線上の点のうち、線分の上にある唯一の点です。

外心

三角形の $3$ 辺の垂直二等分線は $1$ 点で交わり、そこが $3$ 頂点から等距離な外心になります。$A(-1, 0)$、$B(3, 2)$ に $C(3, -2)$ を加えて確かめましょう。$BC$ は縦の線分なので、その垂直二等分線は中点 $(3, 0)$ を通る水平な直線 $y = 0$ です。$AB$ の垂直二等分線 $y = -2x + 3$ と連立すると、交点は $\left( \dfrac{3}{2}, 0 \right)$ となります。

$3$ 頂点までの距離がすべて等しいので、この点を中心とする半径 $\dfrac{5}{2}$ の円が三角形の外接円です。外心が $3$ 頂点から等距離になるのは、$2$ 本の垂直二等分線が交わる点が「$A$ と $B$ から等距離」かつ「$B$ と $C$ から等距離」を同時に満たすからで、その結果として $3$ 本目も同じ点を通ります。

ボロノイ図

地図の上で、いくつかの店のうちどれがいちばん近いかによって領域を塗り分けると、隣り合う $2$ 店の境界線は、まさにその $2$ 点の垂直二等分線になります。この分け方をボロノイ図といい、最寄りの施設をさがす問題や、勢力圏の区分けに使われます。

距離の比を変えると

$A$ と $B$ からの距離の比を $1 : 1$ ではなく $2 : 1$ のようにすると、点の集まりは直線ではなくなります。$PA : PB = 2 : 1$ すなわち $PA^2 = 4 PB^2$ を座標で書くと、次のようになります。

$x^2$ と $y^2$ が残るので、これは円の方程式です（アポロニウスの円）。$2$ 乗の項が両辺から消えて直線になるのは、比がちょうど $1 : 1$、つまり等距離のときだけなのです。

大きな点が $A$・$B$・中点 $M$ です。