天井関数 $y = \lceil x \rceil$ のグラフ

$y = \lceil x \rceil$ は天井関数（ceiling function）と呼ばれ、$x$ 以上の最小の整数を返します。記号 $\lceil\ \rceil$ は天井を思わせる形で、床関数 $\lfloor x \rfloor$（$x$ 以下の最大の整数）と対になる関数です。

具体的な値を見ると、次のようになります。

• $\lceil 2 \rceil = 2$
• $\lceil 2.1 \rceil = 3$
• $\lceil 2.9 \rceil = 3$
• $\lceil -1.2 \rceil = -1$

整数はそのまま、整数でない値は「一つ上の整数」へ切り上げられます。負の数では $0$ に近づく向き（数直線の右向き）に丸められる点に注意してください。

定義域と値域：定義域はすべての実数で、値域は整数全体です。グラフは高さが整数の水平な線分が並ぶ階段状になります。各段は幅 $1$ で、区間 $(n-1,\ n]$ の上で値がちょうど $n$ になります。つまり各段は右端（整数点）を含み（塗りつぶした点）、左端を含みません（白丸）。

不連続点とジャンプ：関数はすべての整数で不連続です。整数 $n$ では左からの極限が $n$、関数値も $n$ なので左からは連続ですが、$n$ を少しでも超えると値が $n+1$ に跳ね上がります。ジャンプの幅はつねに $+1$ で、天井関数は左連続な関数です（床関数が右連続なのと対照的です）。

他の関数との関係：天井関数と床関数は、符号を反転させて入れ替える関係があり、次が成り立ちます。

また $x$ が整数でなければ $\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1$、$x$ が整数なら両者は等しくなります。この関係を使えば、床関数さえ計算できれば天井関数も求められます。

応用：切り上げは日常や計算機で広く使われます。$n$ 個のものを $1$ 箱 $k$ 個ずつ詰めるのに必要な箱の数は $\lceil n/k \rceil$ で求められます。たとえば $17$ 個の商品を $1$ 箱 $5$ 個ずつ詰めるなら $\lceil 17/5 \rceil = 4$ 箱が必要です。同じように、必要なページ数やバスの台数、確保するメモリのブロック数なども切り上げで計算します。