y = \lceil x \rceil

天井関数 $y = \lceil x \rceil$ のグラフ

$y = \lceil x \rceil$ は天井関数と呼ばれ、 $x$ 以上の最小の整数を返します¹。記号 $\lceil\ \rceil$ は天井を思わせる形で、床関数 $\lfloor x \rfloor$ と対になる関数です。

整数はそのまま、整数でない値は一つ上の整数へ切り上げられます。負の数では $0$ に近づく向き、すなわち数直線の右向きに丸められる点に注意してください。

定義域と値域

定義域はすべての実数で、値域は整数全体です。グラフは高さが整数の水平な線分が並ぶ階段状になります。

各段は幅 $1$ で、右端（整数点）を含み、左端を含みません。床関数とは端点の含み方がちょうど逆になっています。

関数はすべての整数で不連続です。整数 $n$ では左からの極限が $n$ 、関数値も $n$ なので左からは連続ですが、 $n$ を少しでも超えると値が $n+1$ に跳ね上がります。跳びの幅はつねに $1$ です。

天井関数は左連続な関数で、床関数が右連続なのと対照的です。

天井関数と床関数は、符号を反転させて入れ替える関係があります。

\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor

また $x$ が整数でなければ $\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1$ 、 $x$ が整数なら両者は等しくなります。この関係を使えば、床関数さえ計算できれば天井関数も求められます。

$x$	$\lfloor x \rfloor$	$\lceil x \rceil$	$\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor$
$2.3$	$2$	$3$	$1$
$-1.2$	$-2$	$-1$	$1$
$3$	$3$	$3$	$0$

$n$ 個のものを $1$ 箱 $k$ 個ずつ詰めるのに必要な箱の数は、切り上げで求められます。

\left\lceil \frac{n}{k} \right\rceil

たとえば $17$ 個の商品を $1$ 箱 $5$ 個ずつ詰めるなら $4$ 箱が必要です。

最後の一つがあふれるぶんを数え落とさないために、こうした場面ではつねに切り上げを使います。