双曲線正割関数 $y = \operatorname{sech} x$ のグラフ

双曲線正割関数 $y = \operatorname{sech} x$ は、双曲線余弦の逆数として次のように定義されます。

「ハイパボリックセカント」と読み、三角関数の正割 $\sec x$ に対応する双曲線関数です。

定義域と値域

分母の $\cosh x$ はつねに $1$ 以上で $0$ にならないため、$\operatorname{sech} x$ はすべての実数 $x$ で定義されます。定義域は実数全体 $(-\infty, \infty)$ です。$\cosh x \geq 1$ より $0 < \operatorname{sech} x \leq 1$ となり、値域は半開区間 $(0, 1]$ です。値は正の範囲に限られ、$0$ には到達しません。

対称性

$\cosh x$ が偶関数であることから、その逆数である $\operatorname{sech} x$ も偶関数です。グラフは $y$ 軸に関して線対称になります。

増減と最大点

導関数は $\dfrac{d}{dx}\operatorname{sech} x = -\operatorname{sech} x \tanh x$ です。$x < 0$ では $\tanh x < 0$ なので導関数は正、$x > 0$ では負となります。したがって $\operatorname{sech} x$ は $x < 0$ で増加し $x > 0$ で減少し、$x = 0$ で最大値をとります。最大点は $(0, 1)$ です。

漸近線と極限

$x \to \pm\infty$ のとき $\cosh x \to \infty$ なので $\operatorname{sech} x \to 0$ となります。したがって $x$ 軸（直線 $y = 0$）が水平漸近線です。ただし値はつねに正なので、曲線は上側から $0$ に近づきます。

特徴的な点

最大点 $(0, 1)$ を通り $\operatorname{sech} 0 = 1$ です。グラフは左右対称で中央が盛り上がり、両側へなめらかに減衰していく、釣鐘（ベル）型の曲線を描きます。正規分布の密度関数にも似た形ですが、裾の減衰は指数的です。

他の関数との関係

定義から $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$ です。恒等式 $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ の両辺を $\cosh^2 x$ で割ると $1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x$ が得られ、これは $\tanh x$ の導関数と一致します。

応用

$\operatorname{sech} x$ のなめらかな釣鐘型は、非線形波動を記述する KdV 方程式や非線形シュレーディンガー方程式のソリトン解に現れます。孤立波の波形は $\operatorname{sech}^2$ や $\operatorname{sech}$ の形で表され、光ファイバー中の光パルスや浅い水面の波などのモデルとして重要です。