双曲線正割関数 $y = \operatorname{sech} x$ のグラフ

双曲線正割関数 $y = \operatorname{sech} x$ は、双曲線余弦の逆数として定義されます¹。

「ハイパボリックセカント」と読み、三角関数の正割 $\sec x$ に対応する双曲線関数です。

定義域と値域

• 定義域はすべての実数
• 値域は半開区間 $(0, 1]$
• 最大値 $1$ を $x = 0$ でとる
• 偶関数

分母の $\cosh x$ はつねに $1$ 以上で $0$ にならないため、すべての実数で定義されます。$\cosh x \geq 1$ より値は $1$ 以下に収まり、$0$ には到達しません。$\sec x$ が漸近線をもち $|y| \geq 1$ だったのとは正反対で、こちらは有界でなめらかです。

対称性

$\cosh x$ が偶関数なので、その逆数である $\operatorname{sech} x$ も偶関数です。グラフは $y$ 軸に関して線対称になります。

増減と最大点

導関数は $\dfrac{d}{dx}\operatorname{sech} x = -\operatorname{sech} x \tanh x$ です。$\operatorname{sech} x$ は正なので符号は $-\tanh x$ で決まり、$x < 0$ で増加、$x > 0$ で減少します。最大点は $(0, 1)$ です。

漸近線と減衰

$x \to \pm\infty$ のとき $\cosh x \to \infty$ なので $\operatorname{sech} x \to 0$ となり、$x$ 軸が水平漸近線です。ただし値はつねに正なので、曲線は上側から $0$ に近づきます。

遠方では $\cosh x \approx \dfrac{e^{|x|}}{2}$ なので、次のように指数的に減衰します。

左右対称で中央が盛り上がり、両側へなめらかに減衰していく釣鐘型の曲線です。正規分布の密度関数にも似た形ですが、裾の減衰は指数的で、ガウス関数ほど急ではありません。

恒等式

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ の両辺を $\cosh^2 x$ で割ると、次が得られます。

右辺は $\tanh x$ の導関数と一致します。三角関数の $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ と、符号だけが違う対応になっています。

応用

なめらかな釣鐘型は、非線形波動を記述する方程式のソリトン解に現れます²。孤立波の波形は $\operatorname{sech}$ や $\operatorname{sech}^2$ の形で表されます。

• KdV 方程式や非線形シュレーディンガー方程式のソリトン
• 光ファイバー中を形を変えずに進む光パルス
• 浅い水面を進む孤立波

1. Hyperbolic functions、Wikipedia
2. Soliton、Wikipedia