sin と cos の関係

y=sin⁡xy = \sin x と y=cos⁡xy = \cos x のグラフは、形がまったく同じで、横にずれているだけです。その関係を式で確かめます。

cos⁡x\cos x は、sin⁡x\sin x を左へ π2\dfrac{\pi}{2} だけ平行移動したものです。式で書くと

cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)

が成り立ちます。グラフを左へ π2\dfrac{\pi}{2} ずらすと xx を x+π2x + \dfrac{\pi}{2} に置きかえることにあたり、sin⁡\sin の山が cos⁡\cos の山にちょうど重なります。

実際、sin⁡x\sin x は x=π2x = \dfrac{\pi}{2} で最大値 11（山）をとり、cos⁡x\cos x は x=0x = 0 で最大値 11（山）をとります。cos⁡\cos の山は sin⁡\sin の山より π2\dfrac{\pi}{2} だけ左にあり、これがちょうど平行移動の量です。

同じように sin⁡x=cos⁡(x−π2)\sin x = \cos\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) とも書け、sin⁡\sin は cos⁡\cos を右へ π2\dfrac{\pi}{2} ずらしたものと見られます。sin⁡\sin と cos⁡\cos は、π2\dfrac{\pi}{2} の平行移動でうつり合う同じ波なのです。グラフの大きな点は、cos⁡\cos の山 (0,1)(0, 1) と sin⁡\sin の山 (π2,1)\left(\dfrac{\pi}{2}, 1\right) です。