二次関数 $y = x^2$ のグラフ

$y = x^2$ のグラフは、原点 $(0, 0)$ を頂点とする上に開いた放物線です。二次関数の一般形 $y = ax^2 + bx + c$ で $a = 1$、$b = c = 0$ とした、最も基本的な形にあたります。

定義域と値域

定義域はすべての実数です。いっぽう実数を $2$ 乗すると負にはならないので、値域は $y \geq 0$ に限られます。

• 定義域はすべての実数
• 値域は $y \geq 0$
• 最小値は $x = 0$ での $0$
• 最大値はなし

対称性

$(-x)^2 = x^2$ が成り立つので、$y$ 軸に関して線対称な偶関数です。$x$ と $-x$ で同じ値をとり、対称の軸は直線 $x = 0$（$y$ 軸）です。

増減と頂点

導関数は次のようになります。

$x < 0$ では負なので減少し、$x > 0$ では正なので増加します。$x = 0$ で増加に転じ、そこで最小値 $0$ をとります。この点 $(0, 0)$ が放物線の頂点です。二階導関数は $y'' = 2$ でつねに正なので、グラフは全体が下に凸（上に開いた形）になります。

増え方

$x$ が $0$ から離れるほど急に大きくなります。$x$ を $2$ 倍にすると $y$ は $4$ 倍、$3$ 倍にすると $9$ 倍になり、値は $x$ の $2$ 乗に比例して増えます。

増加分が $1, 3, 5, 7$ と奇数で並ぶのは、$(n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1$ だからです。増え方そのものが $1$ 次式で増えていく、というのが $2$ 乗の特徴です。

特徴的な点

$(\pm 1, 1)$、$(\pm 2, 4)$、$(\pm 3, 9)$ を通ります。頂点 $(0, 0)$ で $x$ 軸に接し、そこが $x$ 軸との唯一の共有点です。

逆関数

$x \geq 0$ の範囲に制限すると一対一の対応になり、その逆関数が $y = \sqrt{x}$ です。$y = x^2$ と $y = \sqrt{x}$ のグラフは、直線 $y = x$ に関して線対称になります。制限が要るのは、$x^2$ が $x$ と $-x$ で同じ値をとり、そのままでは逆をたどれないからです。

偶数乗どうしの比較

偶数乗の代表でもあり、$y = x^4$ と比べると大小が入れかわります。

$2$ つのグラフは $x = 0$ と $x = \pm 1$ で交わります。$|x| < 1$ では $2$ 乗するたびに値が小さくなるので、次数が高いほど原点の近くが平らになります。

焦点と準線

放物線には、軸に平行な光をすべて $1$ 点に集める性質があります。$y = x^2$ の焦点は $\left( 0, \dfrac{1}{4} \right)$、準線は $y = -\dfrac{1}{4}$ です。放物線上のどの点をとっても、焦点までの距離と準線までの距離が等しくなります。

応用

• 重力だけがはたらくときの落下距離 $y = \dfrac{1}{2}gt^2$
• 斜めに投げた物体の軌跡
• パラボラアンテナや反射望遠鏡の断面
• 最小二乗法で誤差の $2$ 乗を足し合わせる形