放物線の頂点と平方完成

二次関数のグラフ（放物線）は、いちばん先の点である頂点で折り返す形をしています。 $y = x^2 - 2x + 3$ を例に、頂点を求めましょう。

平方完成

$x$ の $1$ 次の項の係数 $-2$ の半分は $-1$ で、 $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ が $x^2 - 2x$ をふくむことを使います。

\begin{align*} x^2 - 2x + 3 &= (x^2 - 2x + 1) - 1 + 3 \\ &= (x - 1)^2 + 2 \end{align*}

$(x - 1)^2$ は $2$ 乗なのでつねに $0$ 以上で、いちばん小さくなるのは $x = 1$ のときです。そのとき $y = 2$ になります。よって頂点は $(1, 2)$ で、 $a = 1 > 0$ より下に凸なので、 $x = 1$ で最小値 $2$ をとります。

軸

頂点を通る縦線 $x = 1$ は放物線の軸（対称軸）です。軸から左右に同じだけ離れた点が、同じ高さになります。

$x$	$y$
$-1$	$6$
$0$	$3$
$1$	$2$
$2$	$3$
$3$	$6$

軸 $x = 1$ から等距離の $x = 0$ と $x = 2$ 、 $x = -1$ と $x = 3$ が、確かに同じ値をとっています。

平行移動としての読み方

$(x - 1)^2 + 2$ という形からは、このグラフが $y = x^2$ を右に $1$ 、上に $2$ だけ平行移動したものだと読み取れます。実際、頂点は原点 $(0, 0)$ から $(1, 2)$ へ移っています。一般に $y = a(x - p)^2 + q$ は $y = ax^2$ を右に $p$ 、上に $q$ 動かした放物線で、頂点は $(p, q)$ 、軸は $x = p$ です。

一般形の頂点

同じ平方完成を一般の $y = ax^2 + bx + c$ でおこなうと、次の形になります。

y = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}

したがって頂点の $x$ 座標はいつでも $-\dfrac{b}{2a}$ です。この例では $-\dfrac{-2}{2} = 1$ となり、確かに一致します。 $y$ 座標は $c - \dfrac{b^2}{4a} = -\dfrac{D}{4a}$ とも書けるので、頂点の高さは判別式と直接つながっています。

頂点が語ること

$a$ の符号は放物線の向きを決め、頂点の $y$ 座標の符号は $x$ 軸と交わるかどうかを決めます。

$a$ の符号	向き	頂点	$x$ 軸と交わる条件
$a > 0$	下に凸	最小値を与える	頂点が $x$ 軸より下
$a < 0$	上に凸	最大値を与える	頂点が $x$ 軸より上

この例では頂点 $(1, 2)$ が $x$ 軸より上にあり、下に凸なので、グラフは $x$ 軸とまったく交わりません。頂点さえ分かれば、最大・最小も交点の有無も読み取れるわけです。

グラフの $2$ つの大きな点は、 $y = x^2$ の頂点 $(0, 0)$ と、 $y = x^2 - 2x + 3$ の頂点 $(1, 2)$ です。