放物線の頂点と平方完成

二次関数のグラフ（放物線）は、いちばん先の点である頂点で折り返す形をしています。$y = x^2 - 2x + 3$ を例に、頂点を求めましょう。

そのために平方完成をします。$x$ の $1$ 次の項の係数 $-2$ の半分は $-1$ で、$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ が $x^2 - 2x$ をふくむことを使います。

$(x - 1)^2$ は $2$ 乗なのでつねに $0$ 以上で、いちばん小さくなるのは $x = 1$ のときです。そのとき $y = 2$ になります。よって頂点は $(1, 2)$ で、$a = 1 > 0$ より下に凸なので、$x = 1$ で最小値 $2$ をとります。

頂点を通る縦線 $x = 1$ は放物線の軸（対称軸）です。たとえば $x = 0$ でも $x = 2$ でも $y = 3$ となり、軸から左右に同じだけ離れた点が同じ高さになります。

$(x - 1)^2 + 2$ という形からは、このグラフが $y = x^2$ を右に $1$、上に $2$ だけ平行移動したものだと読み取れます。実際、頂点は原点 $(0, 0)$ から $(1, 2)$ へ移っています。一般に $y = a(x - p)^2 + q$ は $y = ax^2$ を右に $p$、上に $q$ 動かした放物線で、頂点は $(p, q)$、軸は $x = p$ です。グラフの $2$ つの大きな点は、$y = x^2$ の頂点 $(0, 0)$ と、$y = x^2 - 2x + 3$ の頂点 $(1, 2)$ です。