y = \tanh x

双曲線正接関数 $y = \tanh x$ のグラフ

双曲線正接関数 $y = \tanh x$ は、双曲線正弦と双曲線余弦の比として定義されます¹。

\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

「ハイパボリックタンジェント」と読み、三角関数の正接 $\tan x$ に対応する双曲線関数です。

定義域と値域

分母の $\cosh x$ はつねに $1$ 以上で決して $0$ にならないため、すべての実数で定義されます。 $\tan x$ が漸近線をもち値域が実数全体だったのとは対照的に、 $\tanh x$ はなめらかで有界です。

$\tanh(-x) = -\tanh x$ が成り立つ奇関数で、グラフは原点に関して点対称です。

導関数は次のとおりです。

\frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x

つねに正なので実数全体で狭義単調増加します。原点で最も急な傾き $1$ をもち、両端に向かうほど傾きがゆるやかになる、なめらかな S 字型の曲線を描きます。

二階導関数は $-2\tanh x\,\operatorname{sech}^2 x$ で、符号が変わるのは原点だけです。変曲点は $(0, 0)$ ただ一つで、そこが対称の中心でもあります。

直線 $y = 1$ と $y = -1$ が水平漸近線です。曲線はこれらの線を越えることはありません。 $x = 3$ ですでに $0.995$ を超えており、飽和が非常に速いことが分かります。

ロジスティックシグモイド $\sigma(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}}$ とは、次の関係で結ばれています²。

\tanh x = 2\sigma(2x) - 1

横に $\dfrac{1}{2}$ 縮め、縦に $2$ 倍して $1$ だけ下げたものが $\tanh$ です。値域が $(0, 1)$ か $(-1, 1)$ かという違いだけで、形は同じものだといえます。