双曲線正接関数 $y = \tanh x$ のグラフ

双曲線正接関数 $y = \tanh x$ は、双曲線正弦と双曲線余弦の比として次のように定義されます。

「ハイパボリックタンジェント」と読み、三角関数の正接 $\tan x$ に対応する双曲線関数です。

定義域と値域

分母の $\cosh x$ はつねに $1$ 以上で決して $0$ にならないため、$\tanh x$ はすべての実数 $x$ で定義されます。定義域は実数全体 $(-\infty, \infty)$ です。一方、値は必ず $-1$ より大きく $1$ より小さい範囲に収まるため、値域は開区間 $(-1, 1)$ です。

対称性

$\tanh(-x) = -\tanh x$ が成り立つため、$\tanh x$ は奇関数であり、グラフは原点に関して点対称です。

増減と単調性

導関数は $\dfrac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$ です。これはつねに正であるため、$\tanh x$ は実数全体で狭義単調増加します。原点で最も急な傾き $1$ をもち、両端に向かうほど傾きがゆるやかになる、なめらかな S 字型の曲線を描きます。

漸近線と極限

$x \to +\infty$ のとき $\tanh x \to 1$、$x \to -\infty$ のとき $\tanh x \to -1$ に近づきます。したがって直線 $y = 1$ と $y = -1$ が水平漸近線です。曲線はこれらの線を越えることはありません。

特徴的な点

原点 $(0, 0)$ を通り $\tanh 0 = 0$ です。この点は変曲点であり、曲線の対称の中心でもあります。原点付近では $\tanh x \approx x$ と近似できます。

他の関数との関係

定義そのものが $\sinh x$ と $\cosh x$ の比です。また $\tanh x = \dfrac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$ と書き換えることもでき、シグモイド関数 $\sigma(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}}$ とは $\tanh x = 2\sigma(2x) - 1$ の関係で結ばれています。

応用

$\tanh x$ は有界でなめらかな S 字型をもつため、ニューラルネットワークの活性化関数として広く使われてきました。また統計や物理では、値をある範囲に収める飽和関数として、あるいは磁化や信号の応答を表すモデルとしても登場します。