逆余弦 $y = \arccos x$

$\arccos x$（逆余弦、アークコサイン）は、余弦関数 $\cos$ の逆関数です。$\cos$ も周期関数なので全区間では一対一になりません。そこで単調に減少する区間 $[0, \pi]$ に制限し、その逆関数（主値）を $\arccos$ と定めます。

定義

$y = \arccos x$ は $\cos y = x$ かつ $0 \le y \le \pi$ を満たす $y$ です。

定義域と値域

定義域は $-1 \le x \le 1$、すなわち $[-1, 1]$ です。値域は $[0, \pi]$ です。

増減と対称性

導関数は

で常に負なので、$\arccos$ は定義域全体で単調に減少します。奇関数でも偶関数でもありませんが、点 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ に関して点対称で、$\arccos(-x) = \pi - \arccos x$ が成り立ちます。

特徴的な点と接線

グラフは 3 点 $(-1, \pi)$、$\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$、$(1, 0)$ を通ります。両端 $x = \pm 1$ では接線が垂直になります。

他の関数との関係

逆正弦との間に

が成り立ちます。したがって $\arccos x = \dfrac{\pi}{2} - \arcsin x$ であり、$\arccos$ のグラフは $\arcsin$ のグラフを上下反転して $\dfrac{\pi}{2}$ だけ上へ平行移動したものに一致します。

具体値

例えば $\arccos 1 = 0$、$\arccos \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{3}$、$\arccos 0 = \dfrac{\pi}{2}$、$\arccos(-1) = \pi$ です。

応用

2 つのベクトルのなす角を内積から求めるとき、$\cos\theta$ の値から角 $\theta$ を得るために $\arccos$ が用いられます。幾何や物理、コンピューターグラフィックスで頻繁に登場します。