y=arccos⁡xy = \arccos x

逆余弦 y=arccos⁡xy = \arccos x

arccos⁡x\arccos x（逆余弦、アークコサイン）は、余弦関数 cos⁡\cos の逆関数です1。cos⁡\cos も周期関数なので全区間では一対一になりません。そこで単調に減少する区間 [0,π][0, \pi] に制限し、その逆関数（主値）を arccos⁡\arccos と定めます。

定義

y=arccos⁡xy = \arccos x は、次の 22 つを同時に満たす yy です。

  • cos⁡y=x\cos y = x
  • 0≤y≤π0 \leq y \leq \pi

定義域と値域

定義域は区間 [−1,1][-1, 1]、値域は区間 [0,π][0, \pi] です。

増減

導関数は次のとおりです。

ddxarccos⁡x=−11−x2(−1<x<1)\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (-1 < x < 1)

つねに負なので、定義域全体で単調に減少します。逆正弦の導関数と符号だけが違い、これは sin⁡\sin と cos⁡\cos の増減が逆であることの反映です。

対称性

奇関数でも偶関数でもありませんが、点 (0,π2)\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) に関して点対称で、次が成り立ちます。

arccos⁡(−x)=π−arccos⁡x\arccos(-x) = \pi - \arccos x

特徴的な値

xxarccos⁡x\arccos x
−1-1π\pi
00π2\dfrac{\pi}{2}
12\dfrac{1}{2}π3\dfrac{\pi}{3}
22\dfrac{\sqrt{2}}{2}π4\dfrac{\pi}{4}
32\dfrac{\sqrt{3}}{2}π6\dfrac{\pi}{6}
1100

端点での接線

両端 x=±1x = \pm 1 では導関数の分母が 00 に近づくため、接線は垂直になります。グラフは点 (−1,π)(-1, \pi) から立ち下がり、点 (1,0)(1, 0) で止まる形です。

逆正弦との関係

arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}

したがって arccos⁡x=π2−arcsin⁡x\arccos x = \dfrac{\pi}{2} - \arcsin x であり、arccos⁡\arccos のグラフは arcsin⁡\arcsin のグラフを上下反転して π2\dfrac{\pi}{2} だけ上へ平行移動したものに一致します。

項目arcsin⁡x\arcsin xarccos⁡x\arccos x
定義域[−1,1][-1, 1][−1,1][-1, 1]
値域[−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right][0,π][0, \pi]
増減単調増加単調減少
対称の中心(0,0)(0, 0)(0,π2)\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)

応用

22 つのベクトルのなす角を内積から求めるとき、cos⁡θ\cos\theta の値から角 θ\theta を得るために arccos⁡\arccos が用いられます。

θ=arccos⁡a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\theta = \arccos\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

幾何や物理、コンピューターグラフィックスで頻繁に登場します。

  1. Inverse trigonometric functions、Wikipedia