関数 $y = x \sin x$ のグラフ

$y = x \sin x$ は、一次関数 $x$ と正弦 $\sin x$ の積で得られる関数です。振動しながら振幅が大きくなっていく、特徴的なグラフを描きます。

定義域と対称性

定義域はすべての実数です。$x$ は奇関数、$\sin x$ も奇関数なので、その積は偶関数になります。

したがってグラフは $y$ 軸に関して左右対称です。

包絡線

$-1 \leq \sin x \leq 1$ なので $|x \sin x| \leq |x|$ が成り立ち、グラフは $2$ 直線 $y = x$ と $y = -x$ に挟まれます。この $2$ 直線を包絡線と呼びます。

$|\sin x| = 1$ となる $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ で包絡線に接し、原点から離れるほど振れ幅が比例して大きくなります。ふつうの三角関数と違い、一定の振幅をもたない点が特徴です。

零点

$y = 0$ になるのは $x = 0$ または $\sin x = 0$、つまり $x = n\pi$ です。$x = 0$ は $x$ と $\sin x$ の零点が重なるので、重解になります。

原点付近

原点の近くでは $\sin x \approx x$ より次のようになります。

放物線のように $x$ 軸へ下から接するので、原点は極小値 $0$ をとる点で、その近くではつねに $y \geq 0$ です。

増減

導関数は積の微分から求まります。

この零点が極大・極小の位置を与えます。$x$ が大きいところでは $x\cos x$ の項が効くので、極値の位置は $\cos x = 0$ となる点、すなわち包絡線に接する点へ近づいていきます。

特徴的な値

値域と極限

振幅が限りなく大きくなるため、$y$ は正にも負にもいくらでも大きな値をとり、値域はすべての実数です。$x \to \pm\infty$ で収束せず、振れ幅を増しながら振動を続けます。

応用

$x \sin x$ の形は、共振している振動系の振幅が時間とともに増大する様子や、うなり・振幅変調の解析に現れます。外力の振動数が系の固有振動数と一致すると、応答の振幅が時間に比例して増えていくためです。

1. Resonance、Wikipedia