関数 $y = x \sin x$ のグラフ

$y = x \sin x$ は、一次関数 $x$ と正弦 $\sin x$ の積で得られる関数です。振動しながら振幅が大きくなっていく、特徴的なグラフを描きます。

定義と式

定義域はすべての実数です。

対称性

$x$ は奇関数、$\sin x$ も奇関数なので、その積は偶関数になります。実際 $(-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x \sin x$ となり、グラフは $y$ 軸に関して左右対称です。

振幅と包絡線

$-1 \le \sin x \le 1$ なので $|x \sin x| \le |x|$ が成り立ち、グラフは $2$ 直線 $y = x$ と $y = -x$ に挟まれます。この $y = \pm x$ を包絡線と呼びます。$|\sin x| = 1$ となる $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ で包絡線に接し、原点から離れるほど振れ幅が比例して大きくなります。ふつうの三角関数と違い一定の周期をもたない点が特徴です。

零点と原点付近

$y = 0$ になるのは $x = 0$ または $\sin x = 0$、つまり $x = n\pi$ です。原点の近くでは $\sin x \approx x$ より $x \sin x \approx x^2$ となり、放物線のように $x$ 軸へ下から接します。したがって原点は極小値 $0$ をとる点で、その近くではつねに $y \ge 0$ です。

具体的な値と導関数

たとえば $x = \dfrac{\pi}{2}$ では $y = \dfrac{\pi}{2} \approx 1.57$（包絡線 $y = x$ に接する）、$x = \pi$ では $y = 0$、$x = \dfrac{3\pi}{2}$ では $y = -\dfrac{3\pi}{2} \approx -4.71$（包絡線 $y = -x$ に接する）です。導関数は $\dfrac{d}{dx}(x \sin x) = \sin x + x \cos x$ で、この零点が極大・極小の位置を与えます。

値域と極限

振幅が限りなく大きくなるため、$y$ は正にも負にもいくらでも大きな値をとり、値域はすべての実数です。$x \to \pm\infty$ で収束せず、振れ幅を増しながら振動を続けます。

応用

$x \sin x$（あるいは $t \sin \omega t$）の形は、共振している振動系の振幅が時間とともに増大する様子や、うなり・振幅変調の解析などに現れます。