指数関数と対数関数の対称性

指数関数 $y = e^x$ と対数関数 $y = \ln x$ は逆関数の関係にあり、そのグラフは直線 $y = x$ に関して対称になります。

逆関数とは

逆関数とは、$x$ と $y$ の役割を入れかえた関数です。$y = e^x$ は $x$ を入れると $e^x$ を返す関数で、その逆に値から元の $x$ を求めるのが $y = \ln x$ です。たとえば $e^x$ は $x = 0$ で $y = 1$ を通り、$\ln x$ は $x = 1$ で $y = 0$ を通ります。点 $(0, 1)$ と $(1, 0)$ のように、$x$ 座標と $y$ 座標を入れかえた点どうしが対応します。

作り方

逆関数は機械的に作れます。$y = e^x$ を $x$ について解くと $x = \ln y$ となり、ここで $x$ と $y$ の名前を入れかえれば $y = \ln x$ です。この解いて入れかえるという手順が逆関数の作り方で、名前を入れかえる操作がそのまま、グラフを $y = x$ で折り返す操作にあたります。

なぜ $y = x$ に関して対称か

一般に、点 $(a, b)$ と点 $(b, a)$ は直線 $y = x$ に関して対称です。逆関数はもとの関数の $(x, y)$ を入れかえたものなので、$y = f(x)$ 上の点 $(a, b)$ に対し、逆関数のグラフには必ず $(b, a)$ があります。だから $2$ つのグラフは $y = x$ を鏡の面として折り返した形になります。

入れかわるもの

$2$ つを続けて使うと元に戻ります。$\ln(e^x) = x$、$e^{\ln x} = x$ が成り立つことは、往復すれば出発点にもどることを表しています。$e^x$ が $x$ 軸を漸近線にもつことと、$\ln x$ が $y$ 軸を漸近線にもつことも、対称性から見れば同じ事実です。

接線の傾き

接線の傾きも対応します。$e^x$ の点 $(0, 1)$ での接線の傾きは $1$、$\ln x$ の点 $(1, 0)$ での接線の傾きも $1$ です。鏡に映せば傾きは逆数になるので、$1$ の逆数はやはり $1$、というわけです。

逆関数をもつ条件

逆関数をもつのは、一対一に対応する関数だけです。$e^x$ は単調に増加するのでその条件を満たします。この対称性は $e$ にかぎらず、$2^x$ と $\log_2 x$ でも同じように成り立ちます。グラフの大きな点が、対称に対応する $(0, 1)$ と $(1, 0)$ です。