指数関数と対数関数の対称性

指数関数 $y = e^x$ と対数関数 $y = \ln x$ は逆関数の関係にあり、そのグラフは直線 $y = x$ に関して対称になります。

逆関数とは、$x$ と $y$ の役割を入れかえた関数です。$y = e^x$ は「$x$ を入れると $e^x$ を返す」関数で、その逆に「値から元の $x$ を求める」のが $y = \ln x$ です。たとえば $e^x$ は $x = 0$ で $y = 1$ を通り、$\ln x$ は $x = 1$ で $y = 0$ を通ります。点 $(0, 1)$ と $(1, 0)$ のように、$x$ 座標と $y$ 座標を入れかえた点どうしが対応します。

一般に、点 $(a, b)$ と点 $(b, a)$ は直線 $y = x$ に関して対称です。逆関数はもとの関数の $(x, y)$ を入れかえたものなので、$y = f(x)$ 上の点 $(a, b)$ に対し、逆関数のグラフには必ず $(b, a)$ があります。だから 2 つのグラフは $y = x$ を鏡の面として折り返した形になります。

$e^x$ は $x$ 軸を漸近線にもち急上昇する曲線、$\ln x$ は $y$ 軸を漸近線にもちゆっくり増える曲線で、$y = x$ をはさんでちょうど鏡写しです。グラフの大きな点が、対称に対応する $(0, 1)$ と $(1, 0)$ です。