二次関数と直線の交点

放物線 $y = x^2$ と直線が交わる点とは、放物線の上と直線の上の両方に同時にのっている点のことです。その点では、放物線で計算した $y$ の値と、直線で計算した $y$ の値がぴったり同じになります。ですから交点をさがすときは、この $2$ つの $y$ を等しいとおいて、 $1$ つの方程式にまとめます。

交点を求める

直線 $y = 2x + 3$ との交点を求めます。 $y$ どうしを等しいとおくと $x^2 = 2x + 3$ となり、右辺を左へ移すと次の二次方程式になります。

x^2 - 2x - 3 = 0

$(x - 3)(x + 1) = 0$ と因数分解できるので、 $x = 3$ か $x = -1$ が答えです。それぞれを放物線に戻すと $y = 9$ 、 $y = 1$ となり、交点は $(3, 9)$ と $(-1, 1)$ の $2$ か所です。

交点の個数と判別式

大事なのは、方程式の解の個数が、そのまま交点の個数になるということです。全部解かなくても個数だけを教えてくれるのが判別式です。

D = b^2 - 4ac

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解の公式で、ルートの中身にあたるのがこの $D$ で、その符号で解の個数が決まります。

判別式	解の個数	直線と放物線
$D > 0$	$2$ つ	$2$ 点で交わる
$D = 0$	$1$ つ（重解）	$1$ 点で接する
$D < 0$	なし	交わらない

直線を上下に動かす

同じ傾きのまま直線を上下に動かすと、この $3$ つのようすが順番に現れます。放物線を深く横切っているうちは交点が $2$ つ、直線を下げると $2$ つの交点がだんだん近づき、ちょうど $1$ 点に重なった瞬間が接する状態、さらに下げると放物線から離れて交点がなくなります。

グラフには傾き $2$ の直線を $3$ 本引いています。 $y = 2x + k$ との連立はどれも $x^2 - 2x - k = 0$ の形になり、判別式は $D = 4 + 4k$ です。

直線	方程式	判別式	共有点
$y = 2x + 3$	$x^2 - 2x - 3 = 0$	$16$	$(3, 9)$ 、 $(-1, 1)$
$y = 2x - 1$	$x^2 - 2x + 1 = 0$	$0$	$(1, 1)$ で接する
$y = 2x - 3$	$x^2 - 2x + 3 = 0$	$-8$	なし

接する境目

$D = 4 + 4k = 0$ から $k = -1$ が求まります。傾き $2$ の直線のうち、放物線に接するものはただ $1$ 本だけ、というわけです。 $k = -1$ を境に、上では $2$ 点で交わり、下では交わりません。傾きを $m$ に変えても同じで、 $x^2 - mx - k = 0$ の判別式 $m^2 + 4k = 0$ から接する位置が決まります。

応用

斜めに投げた物体の軌跡と、まっすぐな地面や視線が交わる位置
二次の費用曲線と一次の収入直線が交わる損益分岐点
方程式 $x^2 = 2x + 3$ を、グラフの交点として読みかえる見方

グラフ上の大きな点が、交点と接点の位置です。