二次関数と直線の交点

放物線 $y = x^2$ と直線が交わる点とは、放物線の上と直線の上の両方に同時にのっている点のことです。その点では、放物線で計算した $y$ の値と、直線で計算した $y$ の値がぴったり同じになります。ですから交点をさがすときは、この 2 つの $y$ を「等しい」とおいて、1 つの方程式にまとめます。

たとえば直線 $y = 2x + 3$ との交点を求めてみましょう。$y$ どうしを等しいとおくと $x^2 = 2x + 3$ となり、右辺を左に移すと $x^2 - 2x - 3 = 0$ です。これは $(x - 3)(x + 1) = 0$ と因数分解できるので、$x = 3$ か $x = -1$ が答えです。それぞれを放物線に戻すと $y = 9$、$y = 1$ となり、交点は $(3, 9)$ と $(-1, 1)$ の 2 か所だと分かります。

ここで大事なのは、方程式の答えの個数が、そのまま交点の個数になるということです。答えが 2 つなら交点は 2 つ、答えが 1 つなら交点は 1 つ、答えがなければ交点もありません。つまり「何回交わるか」を知りたいときは、「方程式の答えがいくつあるか」を調べればよいのです。

そして、わざわざ全部解かなくても答えの個数だけを教えてくれる便利な数が 判別式 $D = b^2 - 4ac$ です。二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解の公式で、ルートの中身にあたる部分がこの $D$ で、その符号で答えの個数が決まります。

• $D > 0$：答えが 2 つ → 直線は放物線を 2 点で貫く
• $D = 0$：答えが 1 つ → 2 つの交点が重なり、直線は 1 点で接する
• $D < 0$：答えがない → 直線と放物線は交わらない

同じ傾きのまま直線を上下に動かすと、この 3 つのようすが順番に現れます。放物線を深く横切っているうちは交点が 2 つ、直線を下げると 2 つの交点がだんだん近づき、ちょうど 1 点に重なった瞬間が「接する」状態、さらに下げると放物線から離れて交点がなくなります。

グラフには傾き $2$ の直線を 3 本引いています。どれも $x^2 - 2x - k = 0$ の形になり、判別式は $D = 4 + 4k$ です。$y = 2x + 3$ では $D = 16 > 0$ なので、さきほど見たとおり 2 点で交わります。$y = 2x - 1$ では $x^2 - 2x + 1 = 0$、つまり $(x - 1)^2 = 0$ となって答えは $x = 1$ の 1 つだけです。2 つの交点がちょうど 1 点に重なった状態で、これを「直線が放物線に接する」といい、その直線を接線とよびます。$y = 2x - 3$ では $x^2 - 2x + 3 = 0$ で $D = -8 < 0$ となり、答えがないので直線は放物線とまったく交わりません。グラフ上の大きな点が、交点と接点の位置です。