円と円の交点

2 つの円の交点は、両方の円の上に同時にのっている点です。ここでは中心が原点 (0,0)(0, 0) で半径 55 の円 x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 と、中心が (8,0)(8, 0) で半径 55 の円 (x−8)2+y2=25(x - 8)^2 + y^2 = 25 の交わり方を考えます。

交点では 2 つの式が同時に成り立ちます。そこで 2 つの式を辺ごとに引くと、x2x^2 と y2y^2 が消えて 11 次式が残ります。

(x2+y2)−((x−8)2+y2)=25−25(x^2 + y^2) - ((x - 8)^2 + y^2) = 25 - 25

左辺を展開すると x2−(x2−16x+64)=16x−64x^2 - (x^2 - 16x + 64) = 16x - 64 なので、16x−64=016x - 64 = 0、すなわち x=4x = 4 です。これを x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 に戻すと 16+y2=2516 + y^2 = 25、つまり y2=9y^2 = 9 となり y=3,−3y = 3, -3。よって交点は (4,3)(4, 3) と (4,−3)(4, -3) の 2 点です。

いま引き算で出てきた 11 次式 x=4x = 4 は、2 つの交点を通る直線（共通弦をふくむ直線）を表します。円どうしの交点を求めるときは、まず引き算で直線を作り、それを円の式に代入するのが定石です。

交わり方は、2 つの円の中心間の距離 dd と、2 つの半径 r1,r2r_1, r_2 をくらべると分かります。

  • ∣r1−r2∣<d<r1+r2|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2：2 点で交わる
  • d=r1+r2d = r_1 + r_2（外接）または d=∣r1−r2∣d = |r_1 - r_2|（内接）：1 点で接する
  • d>r1+r2d > r_1 + r_2（離れる）または d<∣r1−r2∣d < |r_1 - r_2|（一方が内側）：交わらない

この例では d=8d = 8、r1+r2=10r_1 + r_2 = 10、∣r1−r2∣=0|r_1 - r_2| = 0 なので 0<8<100 < 8 < 10 となり、確かに 2 点で交わります。グラフ上の大きな点が、その 2 つの交点です。