円と円の交点

$2$ つの円の交点は、両方の円の上に同時にのっている点です。ここでは中心が原点 $(0, 0)$ で半径 $5$ の円 $x^2 + y^2 = 25$ と、中心が $(8, 0)$ で半径 $5$ の円 $(x - 8)^2 + y^2 = 25$ の交わり方を考えます。

引き算で $1$ 次式にする

交点では $2$ つの式が同時に成り立ちます。そこで $2$ つの式を辺ごとに引くと、$x^2$ と $y^2$ が消えて $1$ 次式が残ります。

これを $x^2 + y^2 = 25$ に戻すと $y^2 = 9$ となり $y = 3, -3$。よって交点は $(4, 3)$ と $(4, -3)$ の $2$ 点です。

共通弦

引き算で出てきた $1$ 次式 $x = 4$ は、$2$ つの交点を通る直線（共通弦をふくむ直線）を表します。円どうしの交点を求めるときは、まず引き算で直線を作り、それを円の式に代入するのが定石です。$2$ 次の項が消えて $1$ 次式になるので、円と直線の交点という、すでに解ける問題に持ち込めるからです。

この例では $2$ つの半径が等しいので、交点は $2$ つの中心の垂直二等分線の上にきます。実際、直線 $x = 4$ は中心 $(0, 0)$ と $(8, 0)$ のちょうど真ん中を通る縦線です。共通弦の長さは $(4, 3)$ と $(4, -3)$ のへだたりですから $6$ です。$2$ つの交点はつねに中心を結ぶ直線に関して対称に並びます。

中心間の距離で決まる

交わり方は、$2$ つの円の中心間の距離 $d$ と、$2$ つの半径 $r_1$、$r_2$ をくらべると分かります。

この例では $d = 8$、$r_1 + r_2 = 10$、$|r_1 - r_2| = 0$ なので $0 < 8 < 10$ となり、確かに $2$ 点で交わります。式を解く前に、中心間の距離と半径だけで交点の個数が分かるわけです。

三角形の成立条件として

この判定は、三角形の成立条件と同じことを言っています。$2$ つの中心と交点を結ぶと、辺の長さが $d$、$r_1$、$r_2$ の三角形ができます。三角形ができる条件は $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ で、これがそのまま $2$ 点で交わる条件です。等号のときは三角形がつぶれて $3$ 点が一直線に並び、そのとき $2$ 円は接します。

グラフ上の大きな点が、その $2$ つの交点です。