符号関数 $y = \operatorname{sgn} x$ のグラフ

$y = \operatorname{sgn} x$ は符号関数（signum）と呼ばれ、実数 $x$ の符号だけを取り出して $3$ つの値のいずれかを返します。

$x$ が正なら $1$、負なら $-1$、ちょうど $0$ のときだけ $0$ を返します。

• $\operatorname{sgn}(3.5) = 1$
• $\operatorname{sgn}(-2) = -1$
• $\operatorname{sgn}(0) = 0$

定義域と値域：定義域はすべての実数ですが、値域は $\{-1,\ 0,\ 1\}$ のわずか $3$ 個の値だけです。グラフは $x < 0$ で高さ $-1$、$x > 0$ で高さ $1$ の水平な半直線が $2$ 本あり、原点にだけ高さ $0$ の点が孤立して置かれた形になります。

対称性：符号を反転させると値も反転する $\operatorname{sgn}(-x) = -\operatorname{sgn} x$ が成り立つので、原点に関して点対称な奇関数です。$\operatorname{sgn}(0) = 0$ もこの対称性と矛盾しません。

不連続点とジャンプ：不連続なのは原点 $x = 0$ ただ一点です。左からの極限は $-1$、右からの極限は $+1$ で、両者が食い違うためジャンプの幅は $2$ になります。関数値そのものはその中間の $0$ です。原点以外ではどこも定数なので連続です。

他の関数との関係：符号関数は絶対値と深く結びついていて、次の関係が成り立ちます。

右の式は $x \neq 0$ でのみ使えます。また絶対値 $|x|$ を微分すると（$x \neq 0$ で）$\operatorname{sgn} x$ になり、ヘヴィサイドの階段関数 $H(x)$ とは $\operatorname{sgn} x = 2H(x) - 1$ の関係にあります。

応用：符号関数は「向き」や「正負の判定」を数式で表すのに便利で、絶対値の計算、制御工学のオン・オフ制御、機械学習での符号による分類など、値の大きさより向きが問題になる場面で活躍します。