符号関数 $y = \operatorname{sgn} x$ のグラフ

$y = \operatorname{sgn} x$ は符号関数と呼ばれ、実数 $x$ の符号だけを取り出して $3$ つの値のいずれかを返します¹。

定義域と値域

定義域はすべての実数ですが、値域は $-1$、$0$、$1$ のわずか $3$ 個の値だけです。グラフは $x < 0$ で高さ $-1$、$x > 0$ で高さ $1$ の水平な半直線が $2$ 本あり、原点にだけ高さ $0$ の点が孤立して置かれた形になります。

対称性

$\operatorname{sgn}(-x) = -\operatorname{sgn} x$ が成り立つので、原点に関して点対称な奇関数です。$\operatorname{sgn}(0) = 0$ もこの対称性と矛盾しません。原点で $0$ をとるのは、奇関数であるための必然だともいえます。

不連続点と跳び

不連続なのは原点ただ一点です。左からの極限は $-1$、右からの極限は $+1$ で、両者が食い違うため跳びの幅は $2$ になります。関数値そのものはその中間の $0$ です。原点以外ではどこも定数なので連続で、導関数は $0$ です。

絶対値との関係

符号関数は絶対値と深く結びついています。

下の式は $x \neq 0$ でのみ使えます。また絶対値 $|x|$ を微分すると、$x \neq 0$ の範囲で $\operatorname{sgn} x$ になります。角をもつ関数を微分すると跳びをもつ関数になる、という対応です。

階段関数との関係

ヘヴィサイドの階段関数 $H(x)$ とは、次の関係にあります²。

$0$ と $1$ の二値をとる階段関数を、縦に $2$ 倍して $1$ だけ下げたものが符号関数です。値域が $-1$ から $1$ の対称な形になるので、向きを表すのに使いやすくなります。

応用

• 絶対値の計算と、場合分けを式にまとめる用途
• 制御工学のオン・オフ制御
• 機械学習で符号によって分類する場面

値の大きさより向きが問題になる場面で活躍します。

1. Sign function、Wikipedia
2. Heaviside step function、Wikipedia