五次関数 $y = x^5$ のグラフ

$y = x^5$ は $x$ を $5$ 回掛け合わせた五次の単項式です。定義域はすべての実数で、値域もすべての実数です。どんな実数 $x$ に対しても $x^5$ はただ一つの実数を返し、大きい正の $x$ では非常に大きな正の値に、絶対値の大きい負の $x$ では絶対値の大きな負の値になります。

奇数乗なので $(-x)^5 = -x^5$ が成り立ち、原点に関して点対称な奇関数です。たとえば $x = 2$ で $32$、$x = -2$ で $-32$ というように、符号だけが反転します。グラフは第 $1$ 象限と第 $3$ 象限に広がります。

導関数は $y' = 5x^4$ で、$x = 0$ を除いて常に正、$x = 0$ でも $0$ 以上なので、全区間で単調に増加します。同じ奇関数の $y = x$ や $y = x^3$ と同じく、右上がりの曲線です。

原点では $y' = 0$ となり、接線は $x$ 軸（$y = 0$）に一致します。二次導関数 $y'' = 20x^3$ は $x = 0$ の前後で符号を変えるため、原点は変曲点です。そのため原点付近ではグラフが非常に平らになり、いったん寝てから再び立ち上がります。$x^3$ よりもさらに平らです。

また $x^5$ は実数全体から実数全体への一対一の対応（全単射）であるため逆関数をもち、その逆関数は $5$ 乗根 $\sqrt[5]{x}$ です。原点で接線が水平になっても増加が止まるわけではないので、極大や極小のような山や谷は一つもありません。遠方では $x^5$ は非常に急で、たとえば $x = 3$ で $243$、$x = 4$ で $1024$ と一気に大きくなります。

$|x| > 1$ では $x^5$ は $x^3$ よりも急激に増減し、$|x| < 1$ では $0$ にいっそう近づきます。同じ $x$ での値を比べると次のようになります。

• $x = 2$：$x^3 = 8$、$x^5 = 32$
• $x = 0.5$：$x^3 = 0.125$、$x^5 = 0.03125$
• $x = -2$：$x^3 = -8$、$x^5 = -32$

べき関数 $x^n$ の仲間で、奇数 $n$ の代表例です。すべての奇数乗は $(-1, -1)$、$(0, 0)$、$(1, 1)$ の $3$ 点を通ります。五次以上の一般の多項式は解の公式（べき根による表示）をもたないことが知られており（アーベル・ルフィニの定理）、$x^5$ はその出発点となる最も基本的な形です。テイラー展開の高次の項や、急激に変化する現象のモデルにも現れます。