ガウス関数 $y = e^{-x^2}$

$y = e^{-x^2}$ は、指数関数 $e^u$ の指数部分に $u = -x^2$ を代入した関数で、左右対称の美しい釣鐘形（ベルカーブ）を描きます。統計学における正規分布の核となることから、確率・統計をはじめ、物理学や信号処理まで幅広く登場する最重要関数の一つです。

定義域と値域 すべての実数 $x$ に対して定義されます。$-x^2 \le 0$ なので $0 < e^{-x^2} \le 1$ となり、値域は $(0, 1]$ です。$x = 0$ のとき指数がゼロとなり $y = e^0 = 1$ で最大、$x$ が原点から離れるほど値は小さくなりますが、決してゼロには達しません。

対称性 $f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x)$ が成り立つため偶関数であり、グラフは $y$ 軸に関して線対称です。

増減と極値 導関数は $f'(x) = -2x\,e^{-x^2}$ です。$x < 0$ で $f'(x) > 0$、$x > 0$ で $f'(x) < 0$ となるので、$x = 0$ を境に増加から減少へ転じ、頂点 $(0, 1)$ で最大値をとります。極小値は存在しません。

漸近線と極限 $x \to \pm\infty$ のとき $-x^2 \to -\infty$ なので $e^{-x^2} \to 0$ となり、$x$ 軸（$y = 0$）が水平漸近線です。減衰は指数的に速く、たとえば $x = 3$ で $y \approx 0.000123$ とほとんどゼロになります。

変曲点 二階導関数は $f''(x) = (4x^2 - 2)\,e^{-x^2}$ で、これがゼロになる $x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx \pm 0.707$ が変曲点です。そこでの値は $y = e^{-1/2} \approx 0.607$ で、曲線が上に凸から下に凸へ切り替わる、釣鐘の「肩」にあたります。

他の関数との関係 標準正規分布の密度関数 $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}$ は、この関数を横方向に伸縮し、面積が $1$ になるよう規格化したものです。全区間の積分は有名なガウス積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$ で与えられます。

応用と歴史 18〜19 世紀にド・モアブルやガウス、ラプラスらの研究を通じて誤差論・確率論の中心に据えられました。測定誤差の分布、熱伝導方程式の基本解、画像処理のぼかし（ガウシアンフィルタ）、機械学習のカーネル法など、応用は今日でも数え切れません。