ガウス関数 y = e − x 2 y = e^{-x^2} y = e − x 2 y = e − x 2 y = e^{-x^2} y = e − x 2 e u e^u e u u = − x 2 u = -x^2 u = − x 2
定義域と値域 すべての実数 x x x − x 2 ≤ 0 -x^2 \le 0 − x 2 ≤ 0 0 < e − x 2 ≤ 1 0 < e^{-x^2} \le 1 0 < e − x 2 ≤ 1 ( 0 , 1 ] (0, 1] ( 0 , 1 ]
定義域はすべての実数 値域は ( 0 , 1 ] (0, 1] ( 0 , 1 ] 最大値は x = 0 x = 0 x = 0 1 1 1 最小値はなし。下限の 0 0 0 x x x
対称性 f ( − x ) = e − ( − x ) 2 = e − x 2 = f ( x ) f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x) f ( − x ) = e − ( − x ) 2 = e − x 2 = f ( x ) y y y y = x e − x 2 y = xe^{-x^2} y = x e − x 2
増減と極値 導関数は合成関数の微分から求まります。
f ′ ( x ) = e − x 2 ⋅ d d x ( − x 2 ) = − 2 x e − x 2 \begin{align*}
f'(x) &= e^{-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(-x^2) \\
&= -2x\,e^{-x^2}
\end{align*} f ′ ( x ) = e − x 2 ⋅ d x d ( − x 2 ) = − 2 x e − x 2 e − x 2 > 0 e^{-x^2} > 0 e − x 2 > 0 − 2 x -2x − 2 x x < 0 x < 0 x < 0 x > 0 x > 0 x > 0 ( 0 , 1 ) (0, 1) ( 0 , 1 )
変曲点 二階導関数は積の微分から次のようになります。
f ′ ′ ( x ) = ( 4 x 2 − 2 ) e − x 2 f''(x) = (4x^2 - 2)\,e^{-x^2} f ′′ ( x ) = ( 4 x 2 − 2 ) e − x 2 これがゼロになるのは x = ± 1 2 ≈ ± 0.707 x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx \pm 0.707 x = ± 2 1 ≈ ± 0.707 y = e − 1 / 2 ≈ 0.607 y = e^{-1/2} \approx 0.607 y = e − 1/2 ≈ 0.607
減衰の速さ x → ± ∞ x \to \pm\infty x → ± ∞ − x 2 → − ∞ -x^2 \to -\infty − x 2 → − ∞ e − x 2 → 0 e^{-x^2} \to 0 e − x 2 → 0 x x x y = 0 y = 0 y = 0 e − x e^{-x} e − x
x x x y = e − x 2 y = e^{-x^2} y = e − x 2 0 0 0 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0.7788 0.7788 0.7788 1 1 1 0.3679 0.3679 0.3679 1.5 1.5 1.5 0.1054 0.1054 0.1054 2 2 2 0.0183 0.0183 0.0183 3 3 3 0.0001234 0.0001234 0.0001234
半値全幅 釣鐘の広がりを測る量として、値が最大の半分になる幅（半値全幅）がよく使われます。e − x 2 = 1 2 e^{-x^2} = \dfrac{1}{2} e − x 2 = 2 1 x = ± ln 2 x = \pm\sqrt{\ln 2} x = ± ln 2
2 ln 2 ≈ 1.6651 2\sqrt{\ln 2} \approx 1.6651 2 ln 2 ≈ 1.6651 ガウス積分 初等的な原始関数を持たないにもかかわらず、全区間にわたる積分は閉じた形で書けます1
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi} ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π 証明は、二乗した二重積分を極座標へ移すのが定石です。
I 2 = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ = 2 π ⋅ 1 2 = π \begin{align*}
I^2 &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)}\,dx\,dy \\
&= \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} e^{-r^2} r\,dr\,d\theta \\
&= 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi
\end{align*} I 2 = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ = 2 π ⋅ 2 1 = π I > 0 I > 0 I > 0 I = π I = \sqrt{\pi} I = π ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 d x = π a \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{a}} ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 d x = a π a > 0 a > 0 a > 0
原始関数と誤差関数 不定積分は初等関数では表せません。そこで誤差関数 error function を次のように定義します3
erf ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t \operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2}\,dt erf ( x ) = π 2 ∫ 0 x e − t 2 d t これを使うと、原始関数は次の形に書けます。
∫ e − x 2 d x = π 2 erf ( x ) + C \int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x) + C ∫ e − x 2 d x = 2 π erf ( x ) + C 正規分布との関係 標準正規分布の密度関数は次の形をしています。
φ ( t ) = 1 2 π e − t 2 / 2 \varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2} φ ( t ) = 2 π 1 e − t 2 /2 t = 2 x t = \sqrt{2}\,x t = 2 x e − t 2 / 2 = e − x 2 e^{-t^2/2} = e^{-x^2} e − t 2 /2 = e − x 2 2 \sqrt{2} 2 1 1 1 2
量 ガウス関数 標準正規分布 式 e − x 2 e^{-x^2} e − x 2 1 2 π e − t 2 / 2 \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2} 2 π 1 e − t 2 /2 最大値 1 1 1 1 2 π ≈ 0.3989 \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0.3989 2 π 1 ≈ 0.3989 変曲点の ± 1 2 \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} ± 2 1 ± 1 \pm 1 ± 1 全区間の面積 π \sqrt{\pi} π 1 1 1
モーメント 偶関数なので奇数次のモーメントはすべてゼロです。偶数次は二重階乗を使った公式で与えられます。
∫ − ∞ ∞ x 2 n e − x 2 d x = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} e^{-x^2}\,dx = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi} ∫ − ∞ ∞ x 2 n e − x 2 d x = 2 n ( 2 n − 1 )!! π n = 1 n = 1 n = 1 π 2 \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} 2 π n = 2 n = 2 n = 2 3 π 4 \dfrac{3\sqrt{\pi}}{4} 4 3 π n = 3 n = 3 n = 3 15 π 8 \dfrac{15\sqrt{\pi}}{8} 8 15 π
フーリエ変換 ガウス関数は、フーリエ変換してもガウス関数のままです。
∫ − ∞ ∞ e − x 2 e − i k x d x = π e − k 2 / 4 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} e^{-ikx}\,dx = \sqrt{\pi}\,e^{-k^2/4} ∫ − ∞ ∞ e − x 2 e − ik x d x = π e − k 2 /4 もとの関数が横に狭いほど変換後は横に広がります。この釣り合いは、量子力学の不確定性原理や信号処理の窓関数など、幅と広がりが同時には小さくできない場面に繰り返し現れます。
熱伝導方程式 熱方程式 u t = u x x u_t = u_{xx} u t = u xx
u ( x , t ) = 1 4 π t e − x 2 / ( 4 t ) u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\,e^{-x^2/(4t)} u ( x , t ) = 4 π t 1 e − x 2 / ( 4 t ) t → 0 + t \to 0^{+} t → 0 +
テイラー展開 e u e^{u} e u u = − x 2 u = -x^2 u = − x 2
e − x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n n ! e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} e − x 2 = n = 0 ∑ ∞ n ! ( − 1 ) n x 2 n 奇数次の項が現れないことが、偶関数であることの級数側の現れです。
数値計算 原始関数が初等的でないので、具体的な区間の面積は数値積分で求めます。台形則で区間 [ 0 , 3 ] [0, 3] [ 0 , 3 ]
function gaussian ( x: number ) : number {
return Math. exp ( - x * x)
}
function trapezoid ( from: number , to: number , count: number ) : number {
const step = ( to - from) / count
let total = ( gaussian ( from) + gaussian ( to) ) / 2
for ( let index = 1 ; index < count; index++ ) {
total += gaussian ( from + index * step)
}
return total * step
} 結果は 0.8862 0.8862 0.8862 π 2 ≈ 0.8862 \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 0.8862 2 π ≈ 0.8862 x = 3 x = 3 x = 3
歴史 Theoria Motus （1809）でガウスは、観測誤差の最も確からしい分布として次の形を導いた。
φ ( Δ ) = h π e − h 2 Δ 2 \varphi(\Delta) = \frac{h}{\sqrt{\pi}}\,e^{-h^2\Delta^2} φ ( Δ ) = π h e − h 2 Δ 2 ド・モアブルは二項分布の近似としてこの曲線に到達し、ガウスとラプラスがそれを誤差の分布として位置づけました2 誤差論の中心にある曲線 という見方は、ここから定まったものです。
応用 測定誤差の分布、すなわち正規分布 熱伝導方程式の基本解 画像処理のぼかし、いわゆるガウシアンフィルタ 機械学習のカーネル法における RBF カーネル 量子力学の調和振動子の基底状態 Gaussian integral 、WikipediaNormal distribution 、WikipediaError Functions, Dawson's and Fresnel Integrals 、NIST Digital Library of Mathematical Functions