絶対値のグラフと直線の交点

絶対値のグラフ $y = |x|$ は、原点で折れ曲がった V 字の形をしています。$x \geq 0$ では $y = x$、$x < 0$ では $y = -x$ という $2$ 本の半直線をつないだものです。この $y = |x|$ と直線 $y = 2$ の交点を求めます。

交点を求める

交点では $|x| = 2$ です。絶対値が $2$ になる数は $2$ と $-2$ の $2$ つなので $x = 2, -2$ となり、どちらも $y = 2$ なので、交点は $(2, 2)$ と $(-2, 2)$ の $2$ 点です。

場合分けで外す

絶対値は場合分けで外すのが基本です。

外したあとで、その範囲に入っているかを確かめるという手つきが大切です。範囲から外れた値が出てきたら、それは解として採用できません。

距離として読む

絶対値は原点からの距離でもあります。$|x| = 2$ とは原点から $2$ だけ離れた数という意味で、数直線上にはそんな数が右と左に $1$ つずつあります。交点が $2$ つ現れるのは、この左右の対称性そのものです。$y = |x|$ が偶関数で $y$ 軸について対称であることと、$2$ 交点が $x = \pm 2$ と対称に並ぶことは、同じことを言っています。

$2$ 乗して解くときの注意

両辺を $2$ 乗して $x^2 = 4$ から $x = \pm 2$ と求めることもできます。ただし $2$ 乗は符号の情報を捨ててしまうので、注意が必要です。たとえば $|x| = -1$ は左辺が $0$ 以上なので明らかに解をもちませんが、$2$ 乗すると $x^2 = 1$ となり $x = \pm 1$ という偽の解が出てきます。$2$ 乗して解いたら、必ずもとの式に戻して確かめます。

直線を上下に動かす

V 字の底が原点にあるので、そこが個数の変わる境目です。

不等式として

$|x - a| < d$ という形の不等式は、$a$ から $d$ 以内の範囲、つまり $a - d < x < a + d$ を表します。測定値の許容誤差を書くときにこの形が使われるのも、絶対値が距離だからです。グラフの大きな点が、交点 $(2, 2)$ と $(-2, 2)$ です。