y=e−xy = e^{-x}

指数関数 y=e−xy = e^{-x} のグラフ

y=e−xy = e^{-x} は自然対数の底 e≈2.718e \approx 2.718 を用いた減衰型の指数関数で、e−x=1ex=(1e)xe^{-x} = \dfrac{1}{e^x} = \left( \dfrac{1}{e} \right)^x とも書けます。

定義域と値域

定義域はすべての実数、値域は y>0y > 0 で、値が 00 や負になることはありません。点 (0,1)(0, 1) を必ず通ります。

増減

導関数は次のようになります。

y′=−e−xy' = -e^{-x}

つねに負なので、全区間で単調に減少します。二階導関数は y′′=e−x>0y'' = e^{-x} > 0 なので、グラフはつねに下に凸です。x→+∞x \to +\infty では 00 に近づき、xx 軸（y=0y = 0）が水平漸近線になります。逆に x→−∞x \to -\infty では +∞+\infty に発散します。

一定の割合で減る

xx が 11 増えるごとに値が 1e\dfrac{1}{e} 倍（約 0.3680.368 倍）になります。

xxe−xe^{-x}初期値に対する割合
0011100%100\%
110.3680.368約 37%37\%
220.1350.135約 14%14\%
330.04980.0498約 5%5\%
550.006740.00674約 0.67%0.67\%

決して 00 には達しないものの、急速に無視できる大きさになります。

時定数と半減期

xx が 11 増えるごとに 1e\dfrac{1}{e} 倍になるので、この 11 単位分の長さを時定数と呼びます。ちょうど半分になるのは xx が ln⁡2≈0.693\ln 2 \approx 0.693 増えたときで、これが半減期にあたります。点 (0,1)(0, 1) での接線は傾き y′(0)=−1y'(0) = -1 の直線 y=1−xy = 1 - x で、グラフは原点付近で右下がりに交わります。

等比数列の連続版

x=0,1,2,3,…x = 0, 1, 2, 3, \ldots での値は公比 1e\dfrac{1}{e} の等比数列になっており、e−xe^{-x} は等比数列をなめらかにつないだ連続版とも見なせます。

他の関数との関係

y=exy = e^x を yy 軸に関して鏡映（左右反転）した形で、exe^x が急増するのに対し e−xe^{-x} は急減します。e−x=te^{-x} = t とおくと x=−ln⁡tx = -\ln t で、対数関数とも表裏の関係にあります。

応用

今ある量に比例して減っていく現象は、すべて e−kxe^{-kx} の形で表されます。

  • 放射性物質の崩壊
  • 熱いものが冷めていくニュートンの冷却法則
  • コンデンサーの放電
  • 薬が体内から抜けていく過程

確率論の指数分布の土台にもなっています。