指数関数 $y = e^{-x}$ のグラフ

$y = e^{-x}$ は自然対数の底 $e \approx 2.718$ を用いた減衰型の指数関数で、$e^{-x} = \dfrac{1}{e^x} = \left(\dfrac{1}{e}\right)^x$ とも書けます。定義域はすべての実数、値域は $y > 0$ で、値が $0$ や負になることはありません。

導関数は $y' = -e^{-x}$ で常に負なので、全区間で単調に減少します。$x$ が $1$ 増えるごとに値が $\dfrac{1}{e}$ 倍（約 $0.368$ 倍）になります。

$x \to +\infty$ では $0$ に近づき、$x$ 軸（$y = 0$）が水平漸近線になります。逆に $x \to -\infty$ では $+\infty$ に発散します。点 $(0, 1)$ を必ず通ります。二次導関数は $y'' = e^{-x} > 0$ なので、グラフは常に下に凸です。

具体的な値は $x = 0$ で $1$、$x = 1$ で $\dfrac{1}{e} \approx 0.368$、$x = 2$ で $\dfrac{1}{e^2} \approx 0.135$、$x = -1$ で $e \approx 2.718$ です。

点 $(0, 1)$ での接線は傾き $y'(0) = -1$ の直線 $y = 1 - x$ で、グラフは原点付近で右下がりに交わります。値は $x$ が $1$ 増えるごとに $\dfrac{1}{e}$ 倍になり、この $1$ 単位分の長さを時定数と呼びます。ちょうど半分になるのは $x$ が $\ln 2 \approx 0.693$ 増えたときで、これが半減期にあたります。たとえば $x = 3$ では $e^{-3} \approx 0.0498$ となって初期値の約 $5\%$ まで、$x = 5$ では約 $0.67\%$ まで減り、決して $0$ には達しないものの急速に無視できる大きさになります。

$x = 0, 1, 2, 3, \dots$ での値 $1,\ \dfrac{1}{e},\ \dfrac{1}{e^2},\ \dfrac{1}{e^3},\dots$ は公比 $\dfrac{1}{e}$ の等比数列になっており、$e^{-x}$ は等比数列をなめらかにつないだ連続版とも見なせます。

$y = e^x$ を $y$ 軸に関して鏡映（左右反転）した形で、$e^x$ が急増するのに対し $e^{-x}$ は急減します。$\ln x$ とも関わりが深く、$e^{-x} = t$ とおくと $x = -\ln t$ です。

減衰指数は自然現象に広く現れます。放射性物質の崩壊、熱いものが冷めていくニュートンの冷却法則、コンデンサーの放電、薬が体内から抜けていく過程など、「今ある量に比例して減っていく」現象はすべて $e^{-kx}$ の形で表されます。確率論の指数分布の土台にもなっています。