二点間の距離

座標平面上の $2$ 点間の距離は、三平方の定理で求められます。ここでは $A(1, 2)$ と $B(4, 6)$ の距離を求めます。

三平方の定理から

$A$ から $B$ へは、横に $4 - 1 = 3$ 、縦に $6 - 2 = 4$ だけ移動します。この横の差と縦の差を $2$ 辺とする直角三角形を考えると、 $A$ と $B$ を結ぶ線分はその斜辺にあたります。

AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5

距離は $5$ です。辺の比が $3 : 4 : 5$ の、よく知られた直角三角形が現れています。

一般に、 $2$ 点 $(x_1, y_1)$ 、 $(x_2, y_2)$ の距離は、横の差と縦の差を使って次の式で計算できます。

\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

差は $2$ 乗するので、 $x_2 - x_1$ が負でも結果は変わりません。 $A$ と $B$ のどちらを先に書いても同じ距離が出る、ということです。とくに原点からの距離は $\sqrt{x^2 + y^2}$ で、これは数直線での絶対値 $|x|$ を平面へ広げたものにあたります。

同じ $2$ 点から、線分の中点も求まります。中点の座標は $x$ どうし、 $y$ どうしの平均です。

\left( \frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 6}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, 4 \right)

この距離の式は、そのまま円の定義につながります。中心 $(a, b)$ から距離が $r$ である点 $(x, y)$ の集まりが円ですから、 $\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r$ となり、両辺を $2$ 乗して次の式が得られます。

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

円の方程式は、距離の式を書き直したものにすぎません。

$3$ 点が作る三角形の形を調べるときも、まず $3$ 辺の長さをこの式で求めます。 $A(0, 0)$ 、 $B(4, 0)$ 、 $C(0, 3)$ で計算すると次のようになります。

いちばん長い辺 $BC$ について $4^2 + 3^2 = 5^2$ が成り立つので、この三角形は直角三角形です（三平方の定理の逆）。 $2$ 辺の長さが等しければ二等辺三角形、 $3$ 辺が等しければ正三角形と分かります。

空間へ広げるのも簡単で、 $3$ 次元では $z$ の差の $2$ 乗を足すだけです。

\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

この距離はユークリッド距離と呼ばれ、いちばん近いデータをさがす最近傍探索など、応用でも基本の道具になっています。距離が $0$ になるのは $2$ 点が完全に一致するときだけで、それ以外ではつねに正の値です。

グラフの大きな点が $A(1, 2)$ と $B(4, 6)$ で、この $2$ 点を結ぶ線分の長さが求めた距離 $5$ です。