絶対値関数 $y = |x|$ のグラフ

$y = |x|$ は $x$ から符号を取り去った大きさで、数直線上での原点からの距離を表します。$x \geq 0$ では $y = x$、$x < 0$ では $y = -x$ となり、$|x| = \sqrt{x^2}$ と書くこともできます。

定義域と値域

定義域はすべての実数です。距離を表すので値は負にならず、値域は $y \geq 0$ です。

• 定義域はすべての実数
• 値域は $y \geq 0$
• 最小値は $x = 0$ での $0$
• 変曲点はなし

対称性

$|-x| = |x|$ より、$y$ 軸に関して線対称な偶関数です。

グラフの形

グラフは、直線 $y = x$ の $x \geq 0$ の部分と、直線 $y = -x$ の $x < 0$ の部分をつないだ V 字形です。原点 $(0, 0)$ がその頂点にあたります。曲線ではなく $2$ 本の半直線なので、どこも曲がっておらず、変曲点はありません。

原点のとがった点

導関数は $x > 0$ で $1$、$x < 0$ で $-1$ です。

原点では左からの傾きが $-1$、右からの傾きが $1$ で一致しないため、$x = 0$ では微分できません。グラフはつながっている（連続である）のに微分できない、という関数の代表例です。放物線 $y = x^2$ が原点でなめらかな谷になるのとは対照的に、$|x|$ は鋭い角をつくります。

方程式 $|x| = a$ の解

特徴的な点

$(\pm 1, 1)$、$(\pm 2, 2)$、$(\pm 3, 3)$ を通ります。傾きの大きさはどこでも $1$ で一定なので、原点から遠ざかるにつれて値は一定の割合で増えます。

他の関数との関係

$|x| = \sqrt{x^2}$ であり、$\max(x, -x)$ とも書けます。同じ偶関数でも $x^2$ は原点付近で平らになりますが、$|x|$ は一定の傾きで折れ曲がります。平面上の点までの距離 $\sqrt{x^2 + y^2}$ は、この関数の $2$ 次元版といえます。

応用

誤差の大きさを符号なしで測るときに使います。

• 統計では絶対値の和（$L^1$ ノルム）を最小にする方法が、外れ値に強い当てはめとして知られている
• 三角不等式 $|a + b| \leq |a| + |b|$ は距離を扱う数学の土台
• 機械学習の ReLU は $\max(x, 0) = \dfrac{x + |x|}{2}$ と書け、絶対値関数の右半分だけを取り出した形