y = \operatorname{round}(x)

四捨五入 $y = \operatorname{round}(x)$ のグラフ

$y = \operatorname{round}(x)$ は $x$ に最も近い整数へ丸める関数で、日本語の四捨五入にあたります¹。小数部分が $0.5$ 未満なら切り捨て、 $0.5$ より大きければ切り上げます。

定義域と値域

定義域はすべての実数で、値域は整数全体です。グラフは幅 $1$ の水平な線分が並ぶ階段状で、各段は整数を中心とした区間の上にあります。

床関数や天井関数では段の切れ目が整数にありましたが、四捨五入では半整数にあります。段が整数を中心に置かれるぶん、丸めの誤差が最も小さくなります。

ちょうど中間の値である半整数 $x = n + 0.5$ で不連続になり、値が $1$ 跳ね上がります。この中間の点をどちらへ丸めるかは規約によって決まります。

規約	$\operatorname{round}(0.5)$	$\operatorname{round}(1.5)$	$\operatorname{round}(2.5)$
$0.5$ を切り上げ	$1$	$2$	$3$
偶数丸め（銀行丸め）	$0$	$2$	$2$

統計や会計では、切り上げに偏るのを避けるために偶数丸めがよく使われます。負の数や中間値の扱いは実装によって異なるので、確かめてから使うのが安全です。

半整数を除けば $\operatorname{round}(-x) = -\operatorname{round}(x)$ が成り立ち、原点に関しておおむね点対称です。中間の点だけは、丸めの規約しだいで対称性が崩れることがあります。

$0.5$ を切り上げる方式では、床関数を使って次のように書けます。

\operatorname{round}(x) = \lfloor x + 0.5 \rfloor

つまり四捨五入は床関数・天井関数の兄弟のような関数で、 $\lfloor x \rfloor$ と $\lceil x \rceil$ のうち $x$ に近いほうを選ぶことに相当します。

$x$	$\lfloor x \rfloor$	$\lceil x \rceil$	$\operatorname{round}(x)$
$2.3$	$2$	$3$	$2$
$2.7$	$2$	$3$	$3$
$-1.2$	$-2$	$-1$	$-1$

連続した値を扱いやすい整数へ丸める場面で広く使われます。