y = \operatorname{erf} x

誤差関数 $y = \operatorname{erf} x$

誤差関数 $\operatorname{erf} x$ は、ガウス関数を積分して定義される特殊関数です¹。

\operatorname{erf} x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt

前に付く係数 $\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}$ は、 $x \to \infty$ で値がちょうど $1$ に近づくように選ばれた規格化定数です。ガウス積分が $\int_0^{\infty} e^{-t^2}\,dt = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ であることから決まります。

定義域と値域

定義域はすべての実数
値域は開区間 $(-1, 1)$
単調に増加する
奇関数

被積分関数 $e^{-t^2}$ がつねに正なので、単調に増加します。

対称性

被積分関数が偶関数なので、積分の結果は奇関数になります。すなわち $\operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x)$ が成り立ち、グラフは原点に関して点対称です。

増減と傾き

微分積分学の基本定理より、導関数はガウス関数そのものです。

\frac{d}{dx}\operatorname{erf} x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-x^2}

つねに正なので全域で単調増加です。原点での傾きは $\dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \approx 1.128$ で最も急になります。

収束の速さ

$x$	$\operatorname{erf} x$
$0.5$	$\approx 0.5205$
$1$	$\approx 0.8427$
$2$	$\approx 0.9953$
$3$	$\approx 0.99998$

上下に二本の水平漸近線 $y = \pm 1$ をもちます。裾が $e^{-x^2}$ で減衰するため収束は非常に速く、 $x = 3$ ですでに $1$ との差が $10^{-5}$ を下回ります。

変曲点

二階導関数は $-\dfrac{4x}{\sqrt{\pi}}\,e^{-x^2}$ で、 $x = 0$ で符号が変わるため、原点が唯一の変曲点です。そこを境に下に凸から上に凸へ移ります。

他の関数との関係

標準正規分布の分布関数 $\Phi(x)$ とは次の関係で結ばれます。

\Phi(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\frac{x}{\sqrt{2}}\right)

$\sqrt{2}$ が現れるのは、 $\operatorname{erf}$ が $e^{-t^2}$ を、正規分布が $e^{-t^2/2}$ を使うという定義の違いによるものです。また $1 - \operatorname{erf} x$ を相補誤差関数 $\operatorname{erfc} x$ と呼び、裾の確率を精度よく扱いたいときに使われます。

級数展開

\operatorname{erf} x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\left(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \cdots\right)

すべての実数で収束しますが、 $x$ が大きいところでは項が一度大きく膨らむため、実際の計算には漸近展開や有理近似が使われます²。

応用と歴史

名前のとおり、もとは観測誤差の理論から生まれました。初等関数では表せないため、専用の特殊関数として扱われます。

正規分布の確率計算
熱伝導・拡散方程式の解
通信路の誤り率の評価

Error function、Wikipedia
Error Functions, Dawson's and Fresnel Integrals、NIST Digital Library of Mathematical Functions

誤差関数 y=erf⁡xy = \operatorname{erf} xy=erfx