y=erf⁡xy = \operatorname{erf} x

誤差関数 y=erf⁡xy = \operatorname{erf} x

誤差関数 erf⁡x\operatorname{erf} x は、ガウス関数を積分して定義される特殊関数で、次の式で与えられます。

erf⁡x=2π∫0xe−t2 dt\operatorname{erf} x = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt

前に付く係数 2π\dfrac{2}{\sqrt{\pi}} は、x→∞x \to \infty で値がちょうど 11 に近づくように選ばれた規格化定数です。

定義域と値域 すべての実数 xx で定義されます。被積分関数 e−t2e^{-t^2} が常に正なので単調に増加し、値域は開区間 (−1,1)(-1, 1) です。

対称性 被積分関数が偶関数なので、積分の結果は奇関数になります。すなわち erf⁡(−x)=−erf⁡(x)\operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x) が成り立ち、グラフは原点に関して点対称です。当然、原点 (0,0)(0, 0) を通ります。

増減と傾き 微分積分学の基本定理より導関数は ddxerf⁡x=2π e−x2\dfrac{d}{dx}\operatorname{erf} x = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-x^2} で、常に正なので全域で単調増加です。原点での傾きは 2π≈1.128\dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \approx 1.128 で最も急になります。

漸近線と極限 x→+∞x \to +\infty で y→1y \to 1、x→−∞x \to -\infty で y→−1y \to -1 となり、上下に二本の水平漸近線 y=±1y = \pm 1 をもちます。収束は非常に速く、erf⁡(2)≈0.995\operatorname{erf}(2) \approx 0.995、erf⁡(3)≈0.99998\operatorname{erf}(3) \approx 0.99998 とほぼ 11 に達します。

変曲点 二階導関数は −4xπ e−x2-\dfrac{4x}{\sqrt{\pi}}\,e^{-x^2} で、x=0x = 0 で符号が変わるため、原点が唯一の変曲点です。そこを境に下に凸から上に凸へ移ります。

他の関数との関係 標準正規分布の累積分布関数 Φ(x)\Phi(x) とは Φ(x)=12(1+erf⁡x2)\Phi(x) = \dfrac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right) の関係で結ばれます。また 1−erf⁡x1 - \operatorname{erf} x を相補誤差関数 erfc⁡x\operatorname{erfc} x と呼びます。

応用と歴史 名前のとおり、もとは観測誤差の理論から生まれました。今日では正規分布の確率計算、熱伝導・拡散方程式の解、通信路の誤り率評価など、ガウス積分が現れるあらゆる分野で使われています。初等関数では表せないため、専用の特殊関数として扱われます。