2つの円が接する

円 $x^2 + y^2 = 1$ と円 $(x - 3)^2 + y^2 = 4$ の位置関係を調べます。中心はそれぞれ $(0, 0)$ と $(3, 0)$、半径は $1$ と $2$ です。中心間の距離は $3$ で、半径の和 $1 + 2 = 3$ に等しくなっています。

外接

中心間の距離が半径の和に等しいとき、$2$ 円は外側で $1$ 点だけを共有します（外接）。接点は $2$ つの中心を結ぶ線分上にあり、$(0, 0)$ から $(3, 0)$ へ半径 $1$ ぶん進んだ $(1, 0)$ です。

式で確かめる

$2$ つの円の式を辺ごとに引くと、$2$ 次の項が消えます。

これを $x^2 + y^2 = 1$ に戻すと $y^2 = 0$ となり、$y = 0$ が重解として得られます。共有点が $2$ つではなく $1$ つに重なっている、というのが接するの代数的な姿です。放物線と直線が接するときに判別式が $0$ になったのと、まったく同じ事情です。

共通接線

接点 $(1, 0)$ を通り、$2$ つの中心を結ぶ直線に垂直な直線 $x = 1$ が、$2$ 円の共通接線になります。それぞれの円について接線は接点における半径と垂直でしたから、同じ $1$ 本の直線が両方の接線を兼ねるわけです。

内接

接し方には、外接のほかに内接もあります。中心間の距離が半径の差に等しいとき、一方の円が他方の内側から $1$ 点で接します。中心 $(1, 0)$、半径 $2$ の円と単位円なら、中心間の距離は $1$、半径の差も $2 - 1 = 1$ で等しく、$(-1, 0)$ の $1$ 点で内側から接します。

$5$ 通りの位置関係

中心間の距離 $d$ と半径 $r_1$、$r_2$ で、$2$ 円の関係は $5$ 通りに分かれます。

円を式で解かなくても、中心と半径さえ分かれば位置関係が決まってしまう、というのがこの一覧の便利なところです。大きな点が外接の接点 $(1, 0)$ です。